Lie環の表現論 vs Lie群の表現論

以下で、Lie環の表現論と言ってるのは、正確には、複素半単純Lie環の有限次元表現論(最高ウェイト理論)。よく知られる通り、コンパクトLie群のユニタリ表現は、複素Lie環の有限次元表現に帰着するので、Lie群からやってもLie環からやってもいいけど、議論は結構違う。Lie環の表現論のよいところ/悪いところとして、思いつくのは、以下のあたり。

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無限次元表現を扱う時も、群の場合は、表現空間に何らかの位相を入れることが一般的で、技術的に面倒が多い。Lie環で考える場合は、ずっと単純になる。大雑把には、Lie群の表現を微分すればLie環の表現が出るので、有限次元表現の時には、表現空間に差はない。Lie群の無限次元ユニタリ表現は、例えば適当な二乗可積分関数の空間で実現されたりする(多くの教科書で正則表現は\(L^2(G)\)に実現されると書いてあるはず)。それを微分して得られるLie環の作用は、微分作用素で実現されたりするので、非有界作用素が出るかもしれない。二乗可積分な関数は、一般には微分できると限らないし、また、二階微分可能でない関数には二階の微分作用素が作用できないので、演算子の積や和の定義域を細かく気にする必要がある。非有界作用素の扱いは技術的に面倒であって、そういう扱いが実際にはそれほど難しくないとしても、冷静に考えて、高々微分作用素の和や積を考えるのがそんな面倒くさいのは馬鹿げている。

一方、代数的な定義では、Lie環の表現は普遍展開環の加群であって、ユニタリ性については、非退化エルミート形式を入れてオシマイなので、関数解析は要らない。例えば、Kacの"infinite dimensional Lie algebras"は、そういう定義になっていて、位相も完備性も要求されない(Lie環の表現論では一般的な扱い)。おおまかには、Lie群のadmissibleと呼ばれる(ユニタリとは限らない)クラスの既約表現の場合には、表現空間の中から、うまくLie環の加群となる部分空間を取り出す方法が知られていて、代数的なLie環の既約表現を直接構成できる(Harish-Chandra加群というものになる。既約ユニタリ表現はadmissibleであることが知られている。ユニタリ表現にはユニタリ化可能なHarish-Chandra加群が対応する)。逆にLie環の表現からLie群の表現を作るには、exponentialを取ることから、ベクトルの無限和が出て収束先が問題になる。表現空間にノルムを入れて完備性を要求するのは、現代数学の常套手段と言える。

例として、\(su(1,1)\)の無限次元表現を考えてみる。\(su(1,1)\)は実Lie環として \[[K_{1},K_2] = -K_3 , [K_2,K_3] = K_1 , [K_3,K_1]=K_2\] で生成される。\(su(1,1)\)を複素化すると、\(sl(2,\mathbf{C})\)で、 \[e = K_1 - i K_2 , f = K_1+i K_2 , h=-2i K_3\] と置くと、 \[[e,f] = h , [h,e] = 2e , [h,f] = -2f\] を満たすことが容易に計算できる。完全正規直交基底\(v_n\)(n=0,1,2,...)で代数的に生成されるpre-Hilbert空間に対して、2以上の正整数kに対して正則離散系列表現\(\pi_k\)を \[\pi_k(e) v_n = \sqrt{(n+1)(k+n)} v_{n+1}\] \[\pi_k(f) v_{n+1} = -\sqrt{(n+1)(k+n)} v_{n}\] \[\pi_k(h) v_n = (2n+k) v_{n}\] で定義する。この時、 \[\pi_k(K_1) = \dfrac{1}{2} \left( \pi_k(e) + \pi_k(f) \right) = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{k} & 0 & 0 & \cdots \\ -\sqrt{k} & 0 & \sqrt{2(k+1)} & 0 & \cdots \\ 0 & -\sqrt{2(k+1)} & 0 & \sqrt{3(k+3)} & \cdots \\ \cdots \end{pmatrix}\] などと書けるので、Hermite共役を、行列成分に対して、形式的に \[A^{*} = \bar{A}^T\] で定義すると \[-\pi_k(K_1)^{*} = \pi_k(K_1)\] が成立するので、skew-hermitianである。同様に \[-\pi_k(K_2)^{*} = \pi_k(K_2)\] \[-\pi_k(K_3)^{*} = \pi_k(K_3)\] となり、\(su(1,1)\)の元が"\(u(\infty)\)"の元として実現できる(正則離散系列表現は忠実な表現)。正則離散系列表現では \[-\pi_k(e)^{*} = \pi_k(f)\] \[-\pi_k(f)^{*} = \pi_k(e)\] \[\pi_k(h)^{*} = \pi_k(h)\] となるが、\(su(1,1)\)のユニタリ表現で一般に成立する。これは \[-\pi_k(K_i)^{*}=\pi_k(K_i)\] が成立すれば、そこから従う。これに対応して、反線形写像\(\theta :sl(2,\mathbf{C}) \to sl(2,\mathbf{C})\)を \[\theta(e)=f , \theta(f)=e , \theta(h)=-h \] で定義すると、これは対合的かつ\(sl(2,\mathbf{C})\)の実Lie環としての同型を定め、\(\theta\)の固定点が\(su(1,1)\)と同型な実Lie環となる。直感的には、"\(-\theta\)"はLie環のレベルでのエルミート共役を定めていると言える。また、\(\theta :sl(2,\mathbf{C}) \to sl(2,\mathbf{C})\)が実Lie環としての同型を与えていることから、正則離散系列表現の"双対的"なユニタリ表現(反正則離散系列表現と呼ばれる)が作れる \[\pi_k^{-}(x) = \pi_k(\theta(x))\] \[\pi_k^{-}(e) v_{n+1} = -\sqrt{(n+1)(k+n)} v_{n}\] \[\pi_k^{-}(f) v_{n} = \sqrt{(n+1)(k+n)} v_{n+1}\] \[\pi_k^{-}(h) v_n = -(2n+k) v_{n}\] 正則離散系列表現は最低ウェイト表現である一方、反正則離散系列表現は最高ウェイト表現で、正則離散系列表現と反正則離散系列表現は(名前が違うことから想像される通り)同値ではないユニタリ表現になる

正則離散系列表現は、例えば、cyclic vectorとして\(v_0\)を選ぶと、\(f\)と\(h-k\)で生成される左イデアルによる商加群(つまり最低ウェイトVerma加群)として与えることができる(完備化しても、演算子の定義域が表現空間全体でないと、加群ではなくなり余分な議論を必要とする)。そのような定義だと、上の正則離散系列表現のユニタリ性に関する議論は、これ以上の余分な議論なしに正当化できる(線形代数と変わるところがなく、標準的な物理屋の考え方とも近い)。ただ、無限次元表現では、場合によっては、連続スペクトルが出たり、表現の直積分を考えたりする必要があるので、その場合は(厳密性を気にするなら)解析的な議論を完全に避けられるのかよく分からない(形式的に計算すること自体は難しいわけでもないけど)

#連続スペクトルが出る初等的な例は(\(L^2(\mathbf{R})\)上の)Fourier変換(一次元の実Lie環が\(d/dx\)によって作用していると思う)だけど、物理では散乱状態に見られるのだと思う。例えば、(Euclid空間上の)自由粒子は一切束縛状態を持たない(量子力学で最初に平面波をやるのは連続スペクトルが出る難しい話から始めていることになる)し、3次元量子Kepler系の散乱状態は、エネルギーごとに、\(so(3,1)\)の既約ユニタリ表現が2つ現れる(この2つの表現は同値であり、intertwinerはS-matrixと同一視できる)。従って、散乱状態全体は、\(so(3,1)\)の既約ユニタリ表現を非可算無限個集めたものとなる。散乱状態は、束縛状態と違って、有限のノルムを持たないことからも、Hilbert空間のような空間の"外"にいることがイメージできる

[余談]実半単純Lie群の離散系列表現の分類は、1950年代にHarish-Chandraによってなされたらしい。\(Spin(3,1)\)のように離散系列表現が存在しない場合もあるし、正則でも反正則でもない離散系列表現が存在する場合もある。例えば、\(SU(2,2)\)はmiddle discrete seriesやlarge discrete seriesというものを持つ。large/middleというのは、Gelfand-Kirillov次元の大きさのことじゃないかと思うけど、不明。正則/反正則離散系列表現は、離散系列表現の中で、Gelfand-Kirillov次元が最小という特徴付けがあるらしい。
On the Gelfand–Kirillov dimension of a discrete series representation
http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-319-23443-4_18

\(SO(3)\)の\(L^2(S^2)\)への標準的な表現を考えると、この既約成分の代数的な直和は、多項式環の商環となる。この場合は、有限次元の既約表現の直和に分解されるので、特に完備化しなくても、\(SO(3)\)の作用は定義できる。一方、正則離散系列表現の最低ウェイトベクトル\(v_0\)の\(SU(1,1)\)作用による軌道は、generalized coherent statesであって、本当に無限和を必要とするので、より大きな表現空間を必要とする。とはいえ、\(SU(1,1)\)の正則離散系列表現は、単位円板上の関数空間で実現できるが、二乗可積分関数の代わりに正則関数を取ってはいけない理由はない。群の表現では、Hilbert空間の代わりに、もっと一般的なBanach空間やFréchet空間を使うのも割と見る(どういう違いが出るのかは知らない)。これらの表現でも、admissible表現に対してHarish-Chandra加群を対応させることはできるけど、群の表現空間のクラスとして許すものを広げていくと、同じHarish-Chandra加群を持つ表現が沢山出てくる。第一の問題として、同一のHarish-Chandra加群を持つ異なる群の表現は別扱いにすべきかという疑問があり、おそらく多くの数学者の認識では本質的な違いは出ないと考えていると思う。第二の問題として、"canonical"な群の表現はあるかという問題があり、Casselman-Wallach theoremという一つの答えがあるが、本当にこれがよいのか分からない。というように、Lie環の表現空間は無限次元表現であっても自然に決まるのに比べ、Lie群の方は、色々な選択肢がありうるため、面倒くさい。抽象論/一般論としては、そういう問題に対して色々なことが考えられるけど、そういうことをやっても本質的に重要な話というのは今の所出ないようである。

大体のところ、物理では位相とか考えなくても計算自体はうまくいってるわけだし、位相なんて余分な情報なのではと思ったりする。計算には必要なくても、証明には必要な事柄というものもあるかもしれないけど

#von Neumannの量子力学の公理では波動関数の空間はHilbert空間であるということになっているけど、Lie環のユニタリ表現空間は、一般にはHilbert空間ではない。例えば、振動子表現の表現空間は、Lie環(Heisenberg代数)の表現としては、多項式環で、Hilbert空間ではないが、Heisenberg群の既約ユニタリ表現空間はHilbert空間とする(Stone-von Neumannの定理で出てくるやつ)。混同して問題が起きるケースは殆どないと思うけど(物理の人は、大体気にしてないだろうし)

#WikipediaのConformal field theoryの項には、"The Hilbert space of physical states is a unitary module of the Virasoro algebra corresponding to a fixed value of c."のような記述がある。言いたいことは分かるけど、自明な場合を除いて、Virasoro代数のユニタリー表現空間は、Hilbert空間ではない(pre-Hilbertではある)と思う。尤も、この手の記述を自分がしてしまっていないか、自信はない

[補足1]\(su(1,1)\)の正則離散系列表現を注意深く見ると、別にkを整数に限る必要はないことに気付く。このように限定する理由は、\(SU(1,1)\)の既約ユニタリ表現から得られるのは、kが整数の場合のみだからで、このような制限が付く理由は、\(SU(1,1)\)の既約ユニタリ表現を\(U(1)\)に制限した時、\(U(1)\)の既約表現に分解するが、\(U(1)\)は単連結でないため、Lie環\(u(1)\)の表現が全て\(U(1)\)の表現に持ち上がるわけではないせい。\(SU(1,1)\)の部分群\(U(1)\)の作用はLie環のレベルでは、\(h\)の作用に対応するが、自然な二次元表現に於いて \[K_3 = \dfrac{i}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\] であって、\(h\)の固有値は整数でないと\(U(1)\)に持ち上がらない(※1)

(※1)\(k=1\)でも\(h\)の固有値は整数であり既約ユニタリ表現になる(\(k=0\)や負の値はダメなことは少し考えれば分かる)。正則離散系列表現は、\(k\)が2以上の時で、\(k=1\)はlimit of discrete seriesと呼ばれる(反正則系列の方も同様に\(k=1\)の時はlimit of discrete series)。Lie環のレベルでは殆ど区別する理由がないけど、\(k=1\)の時は、\(SU(1,1)\)の二乗可積分表現にならないという違いがある(\(SU(1,1)\)の右正則表現の部分表現として出るか出ないかと言ってもいい)

[補足2]\(sl(2,\mathbf{C})\)に於いて、天下り的に \[X = -e+f+h\] と置くと、正則離散系列表現では \[\pi_k(X) v_n = -\sqrt{(n+1)(n+k)} v_{n+1} + (2n+k) v_{n} -\sqrt{n(n+k-1)} v_{n-1}\] となる。一方、規格化したgenralized Laguerre多項式の三項間関係式は \[x \cdot l_n^{(\alpha)}(x) = -\sqrt{(n+1)(n+\alpha+1)} l_{n+1}^{(\alpha)}(x) + (2n+\alpha+1) l_n^{(\alpha)}(x) -\sqrt{n(n+\alpha)} l_{n-1}^{(\alpha)}(x)\] なので、\(X\)はJacobi行列(非対角成分が正の実対称三重対角行列。Jacobianと紛らわしい名前だが)を与え、正則離散系列表現の基底として、一般化Laguerre多項式を取ることができ、\(su(1,1)\)の正則離散系列表現の表現空間と一変数多項式環の同型を得る。一変数直交多項式の理論は十分に完成しているので表現論的に理解することの意義は少ないが、ラゲール多項式のαは整数であるとは限らないので、群の既約ユニタリ表現やHarish-Chandra moduleだけ見ていては十分でない状況があるという初等的な例にはなるかもしれない。反正則離散系列表現も同様にLaguerre多項式を基底とする実現が可能なので、表現の基底を特殊関数で書くことは計算上便利なこともあるが、それによって失われている情報があることは気をつけるべき。いずれにせよ、この程度であれば、無限次元表現といっても、本質的に19世紀数学の範疇にある初等的なものの焼き直しに過ぎない。

[補足3]generalized Laguerre多項式は、Kummerの合流型超幾何関数を使って定義できる。そうすると、上の三項間漸化式(three-term reccurence relation)は、合流型超幾何関数の隣接関係式(contiguous relation) \[E_1(a,c)F(a,c:z) = a F(a+1,c:z)\] \[F_1(a,c)F(a,c,;z) = (c-a) F(a-1,c:z)\] \[E_1(a,c) = z\partial+a\] \[F_1(a,c) = z\partial - c - a - z\] から直接示すことができる(\(a=-n、c=\alpha+1\)の場合に相当)。合流型超幾何関数の隣接関係式は他にもあり、それを使うと異なる\(\alpha\)のラゲール多項式の間で成立する漸化式も示すことができる。これらの隣接関係式の背景には、Lie環\(gl(4,\mathbf{C})\)の作用があり、上の作用素は、\(gl(4,\mathbf{C})\)の元の一般化超幾何関数への作用を簡約したものとなっている。Gauss超幾何関数の退化していった先には、Weber関数
Weber equation
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weber_equation
などもいて、パラメータが特殊な場合はHermite多項式になる。この時も隣接関係式から三項間漸化式を導くことができる。

[補足4]正則離散系列表現の実現は、ラゲール多項式によるもの以外にも無数にある。適当な定数\(\lambda\)を持ってきて \[X = -e+f+\lambda h\] と置けば、これもJacobi行列なので付随して直交多項式が作れる。こうすると、Meixner–Pollaczek多項式というもの(これも超幾何関数の特殊化によって得られる直交多項式)が得られたりするらしい(q-alg/9607010)

[補足5]Virasoro代数やアフィンLie代数に対しても、実型を定めるinvolutionを指定しないとユニタリ表現は定義できないけど、これらの代数では、標準的に使われるinvolutionが決まっている(Kacの"Infinite dimensional Lie algebras"などを参照) \[(a)\theta(L_n) = -L_{-n} , \theta(c) = -c\] \[(b)\theta(e_i) = -f_i , \theta(f_i)=-e_i , \theta(h_i) = -h_i\] 後者の(b)については、有限型Kac-Moody代数の場合、有限次元複素単純Lie環のコンパクト実型に対応していることが分かる。Virasoro代数の"skew-hermitian involution"(一般的な名前がないので勝手に命名する)は分類されており、 \[(c)\theta(L_n) = -\alpha^n L_{-n} , \theta(c) = -c , \alpha \neq 0 , \alpha \in \mathbf{R}\] \[(d)\theta(L_n) = \alpha^n L_n , \theta(c) = c , | \alpha | = 1 , \alpha \in \mathbf{C}\] のどちらかの形となる。更に(ある有限性条件の下で)ユニタリ化可能な既約表現は、(c)のinvolutionのみに対して存在し、その時は、\(\alpha=1\)として構わない。それは(a)の場合に相当する(有限性条件というのは、Kac-Moody代数などの表現論で、weight moduleと呼ぶ条件のVirasoro代数版に相当する)。これについては
Unitary representations of the Virasoro algebra and a conjecture of Kac
https://eudml.org/doc/89921
のProposition3.2と3.4を参照(論文では、skew-hermitian involutionの代わりに、hermitian anti-involution、つまり普通のエルミート共役に相当する写像を用いていて、符号が異なる)

[補足6]量子群のユニタリ表現を考える時は、\(*\)-代数構造を考えるのが一般的で、この\(*\)は普通のエルミート共役に対応していて(上のhermitian anti-involutionと同等のもの)、従って、\(sl(2,\mathbf{C})\)のコンパクト実型\(su(2)\)を与える*-作用は \[e^{*}=f\] \[f^{*}=e\] \[h^{*}=h\] で定義する。上で定義した\(\theta\)との違いは符号のみで、\(\theta\)が実Lie環としてのautomorphismを与えるのに対して、\(*\)の方は、anti-automorphismになる。量子普遍展開環にも、この定義はそのまま拡張される。例えば、上に書いた正則離散系列表現(とその極限)は自然に\(U_q(su(1,1))\)の場合に一般化できる。 \[KE = q^2 EK\] \[KF = q^{-2} FK\] \[EF-FE = \dfrac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}}\] が、\(U_q(sl(2,\mathbf{C}))\)の(代数としての)定義関係式で、量子群としてはHopf代数構造を入れないといけないけど、特定の表現を考えるなら、これでも十分。で、正規直交基底\(v_n\)(n=0,1,2,...)を持つ内積空間に対して、 \[\pi_k(E) v_n = \sqrt{ [n+1]_{q} [n+k]_{q} } v_{n+1}\] \[\pi_k(F) v_{n+1} = -\sqrt{ [n+1]_{q} [n+k]_{q} } v_{n+1}\] \[\pi_k(K) v_n = q^{2n+k} v_{n}\] \[[a]_{q} = \dfrac{q^a - q^{-a}}{q-q^{-1}}\] を定義すると、これは、\(U_q(sl(2,\mathbf{C}))\)の表現であることを容易に確認できる。\(U_q(su(1,1))\)の表現を考えるために、\(0<q<1\)とすると、\(U_q(su(1,1))\)の既約ユニタリ表現となる。\(su(1,1)\)の時と違い、\(E,F,K\)の簡単な組み合わせで得られるJacobi行列を安直に考えても、よい直交多項式は得られないっぽい(q-Laguerre多項式などはq-解析で知られた対象ではあるが)

#直交多項式の理論に関連する比較的新しい概念として、相互作用Fock空間(Interacting Fock Space,IFS)というのがある。少なくとも1モードと呼ばれる場合には簡単(簡単過ぎるので個人的には意味があるのか懐疑的なのだけど)で、Jacobi行列を生成演算子・消滅演算子と対角型作用素の和に分解する(と書くと凄そうだけど、三重対角行列なので、上三角成分、対角成分、下三角成分の和に分解してるだけ。エルミート多項式やChebyshev多項式の場合は対角成分がなく、生成演算子と消滅演算子の和で書ける)。これは確率変数の量子分解と大体同じこと。正則離散系列表現に於けるe,f,hの作用は丁度、Laguerre多項式のIFSに於ける3つの演算子と対応している(※2)。IFSは、原理的には任意の直交多項式で作れる(といっても、知る限りでは、別に素性の良くない直交多項式に対して応用があるわけではない)ので、q-直交多項式とかで考えてみると、よい代数が得られることもあるかもしれない

(※2)monicなLaguerre多項式の三項関係式(標準的なLaguerre多項式は、monicではないので注意)は \[\left( x -(2n+\alpha+1) \right) L_n^{(\alpha)}(x) = L_{n+1}^{(\alpha)}(x) + n(n+\alpha) L_{n-1}^{(\alpha)}(x)\] で、対応するIFSの作用素は、Jacobi行列の上三角・下三角・対角成分から、\(n=0,1,2,\cdots\)に対して \[B_{+} \Phi_{n} = \sqrt{(n+1)(n+\alpha+1)} \Phi_{n+1}\] \[B_{-} \Phi_{n} = \sqrt{n(n+\alpha)} \Phi_{n-1}\] \[B_{0} \Phi_n = (2n+\alpha+1) \Phi_n\] となるように取る。正則離散系列表現との対応関係は明らか(規格化した直交多項式\(p_n(x)\)について、\((-1)^n p_n(x)\)も規格化された直交多項式になることに注意。IFSの文献では非対角成分を正になるように取っていることが多い気がする)

#Laguerre多項式が合流型超幾何関数で定義されるように、q-Laguerre多項式も、あるq-超幾何級数を使って定義される。現在の常識からすると、q-変形があれば、楕円変形も考えるのは自然。q-超幾何関数は19世紀から知られていたようで、メジャーではないが長い歴史がある(英語ではbasic hypergeometric seriesなどと書いてあるのを見る。何が"basic"なのか謎）。楕円超幾何関数は、1997年頃、elliptic 6j-symbolとして現れたらしいので、まだ20年位しか歴史がない。古典的な直交多項式たちが、楕円変形まで許すのかどうか気になるところではあるが、ちょっと探した感じでは、あまりよく調べられてる感じではなさそう？

[補足7]\(su(1,1)\)と\(sl(2,\mathbf{R})\)はCayley変換で移り合うが、\(U_q(su(1,1))\)と\(U_q(sl(2,\mathbf{R}))\)は異なる(許されるqの条件が異なる)。\(U_q(su(2))\)と合わせて、\(U_q(sl(2,\mathbf{C}))\)の実型はこの3つとなることが知られている

#\(sl(2)\)の量子普遍展開環の楕円変形に相当するものとして、Sklyanin代数が考えられる。有限次元表現は(classical/quantum 6j-symbolと同様)elliptic 6j-symbolの源と思われるが、elliptic 6j-symbolは別の方法で見つかったようで、Sklyanin代数の表現論に言及している文献は、あまり多くない。arXiv:math/9812161などに有限次元既約表現の記述がある(Sklyanin自身が1983年に構成したものらしい。原論文はロシア語しかないので確認する気にはならなかった)。これは、\(sl(2)\)の有限次元既約表現に対応するものと思うけど、チェックはしていない。 arXiv:1012.1228によれば、"Very little is known about infinite-dimensional representations of the Sklyanin algebra"だそうな。2010年の論文だけど調べている人も少なそうなので、状況はあまり変わっていないのでないかと思う

[補足8]Lie superalgebraでも当然、実型の概念はある。例えば、\(su(2,2|N)\)は\(sl(4|N)\)の実型の一つ。\(N=4\)の時が、物理(の一部)では割と見る。\(psu(2,2|4)\)は\(psl(4|4)\)の実型。個別の例に関しては、普通のLie代数の時と変わることはないけれど、一般論として、どういうことが分かっているのかは知らない