\(so(n+1,2)\)の極小表現の実現
共形代数\(so(n+1,2)\)の極小表現は、massless scalar field equationのpositive energy solutionの空間として実現できる
実空間の座標を
\(\mathbf{x} = (x_0,x_1,\cdots,x_n)=(x_0,\mathbf{r})=(t,r\Omega_r)\)
と取り、運動量空間の座標を
\(\mathbf{k} = (k_0,k_1,\cdots,k_n)=(k,k\Omega_k)\)
とする。
ここで、
\(\Omega_r ,\Omega_k \in S^{n-1}\)
は単位ベクトル。
\(r = \sqrt{x_1^2+\cdots + x_n^2}\)、\(k = \sqrt{k_1^2+\cdots + k_n^2}\)
エネルギーと運動量の関係式
\(k_0^2 - k_1^2 - \cdots - k_n^2=0\)
及び、正エネルギー条件\(k_0 >0\)より、
\(k=k_0 > 0\)
が成り立つ。
最低ウェイトベクトルの計算
論文The minimal representation of the conformal group and classic solutions to the wave equationによって、実空間での最低ウェイトベクトルは、
\(\Psi(\mathbf{x}) = \dfrac{1}{((1-it)^2+r^2)^{(n-1)/2}}\)
で与えられる。
運動量空間での最低ウェイトベクトルは、実空間の最低ウェイトベクトルをFourier変換すると計算できる。平面波を、hyperspherical harmonicsで展開すると、計算はHankel変換に帰着する。
\(f(\mathbf{k}) = \dfrac{k_0}{\pi} \displaystyle \int \Psi(\mathbf{x})e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}} d\mathbf{r} = \dfrac{k_0}{\pi} \displaystyle \int d\Omega_r \displaystyle \int r^{n-1}dr \Psi(\mathbf{x}) e^{-ikt}e^{ikr\Omega_k\cdot\Omega_r}\)
で、平面波をAngular integrations in m‐dimensional spaces and hyperspherical harmonicsに従って、以下のように展開する
\(e^{ikr\Omega_k\cdot\Omega_r} = 4\pi \displaystyle \sum_{l=0}^{\infty} i^{l} \dfrac{J_{l+\frac{n}{2}-1}(kr)}{(kr)^{\frac{n}{2}-1}}\sum_{\mu}Y_{l\mu}(\Omega_k)Y_{l\mu}^{*}(\Omega_r)\)
ここで、\(J_{\nu}\)は、Bessel関数。そのまま代入すると、以下のようになる。
\(f(\mathbf{k})=\dfrac{4k}{k^{\frac{n}{2}-1}}\displaystyle \int d\Omega_r \displaystyle \int r^{\frac{n}{2}}dr\Psi(\mathbf{x})e^{-ikt}\sum_{l=0}^{\infty} i^{l} J_{l+\frac{n}{2}-1}(kr)\sum_{\mu}Y_{l\mu}(\Omega_k)Y_{l\mu}^{*}(\Omega_r)\)
\(\Psi(\mathbf{x})\)は、\(\Omega_r\)に依存する項がないので、\(l=0\)のみの項が残り、
\(f(\mathbf{k})=\dfrac{4ke^{-ikt}}{k^{\frac{n}{2}-1}}\displaystyle \int d\Omega_r \displaystyle \int \dfrac{r^{\frac{n}{2}}}{((1-it)^2+r^2)^{(n-1)/2}} J_{\frac{n}{2}-1}(kr)dr\)
\(\nu=\dfrac{n}{2}-1\)
として、Hankel変換と球の表面積の計算により、
\(f(\mathbf{k}) = \dfrac{4ke^{-ikt}}{k^{\nu}}\displaystyle \int d\Omega_r \dfrac{\sqrt{\pi}}{2^{\nu}\Gamma(\nu+\frac{1}{2})}k^{\nu-1} e^{-(1-it)k}=\dfrac{4\sqrt{\pi}}{2^{\nu}\Gamma(\nu+\frac{1}{2})}\dfrac{\pi^{\nu+1}}{\Gamma(\nu+1)} e^{-k}\)
ガンマ関数の公式
\(\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2}) = 2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)\)
を使って整理すると
\(f(\mathbf{k}) =\dfrac{2^{\nu}\pi^{\nu+1}}{\Gamma(d-1)}e^{-k}\)
を得る。定数項を除けば
\(f(\mathbf{k}) \propto e^{-k}\)
運動量空間での\(so(n+1,2)\)の作用
標準的な共形代数の生成元として、添字\(a,b=1,\cdots,n\)を使って
\(P_0 = i k\)
\(P_{a} = -i k_a\)
\(M_{0a} = k \partial_{a}\)
\(M_{ab} = k_a \partial_{b} - k_b \partial_{a}\)
\(D = \dfrac{n-1}{2} + k_1 \partial_{1} + \cdots + k_n \partial_{n}\)
\(K_0 = ik(\partial_{1}^2 + \cdots + \partial_{n}^2)\)
\(K_{a} = i((n-1)\partial_{a} - k_a(\partial_1^2+\cdots \partial_n^2) +2\displaystyle \sum_{j=1}^{n}k_{j}\partial_{j}\partial_{a})\)
を取ることができる。
\(\mu,\nu=0,\cdots,n\)に対して、
\(Y_{\mu\nu} = M_{\mu\nu}\)
\(Y_{\mu,n+1} = -\dfrac{1}{2}(P_{\mu}+K_{\mu})\)
\(Y_{\mu,n+2} = \dfrac{1}{2}(P_{\mu}-K_{\mu})\)
\(Y_{n+1,n+2} = D\)
と定義する。
添字\(p,q,r,s=0,\cdots , n+2\)に対して、
\(\eta_{pq} = \mathrm{diag}(-1,+1 ,\cdots .+1,+1,-1)\)
\(Y_{pp} = 0\)
かつ、\(p>q\)に対して、
\(Y_{pq} = -Y_{qp}\)
と定める。この時、
\([Y_{pq},Y_{rs}] = \left(\eta_{qr}Y_{ps} -\eta_{pr}Y_{qs} - \eta_{qs} Y_{pr} + \eta_{ps} Y_{qr}\right)\)
が成立する。
\([D,P_{\mu}]=P_{\mu}\)
\([D,K_{\mu}]=-K_{\mu}\)
\([K_{\mu},P_{\nu}] = 2(\eta_{\mu\nu} D - M_{\mu\nu})\)
\([K_{\lambda} , M_{\mu\nu}] = (\eta_{\lambda\mu}K_{\nu}-\eta_{\lambda\nu}K_{\mu})\)
\([P_{\lambda} , M_{\mu\nu}] = (\eta_{\lambda\mu}P_{\nu}-\eta_{\lambda\nu}P_{\mu})\)
\([M_{\mu\nu},M_{\lambda\rho}] = (\eta_{\nu\lambda}M_{\mu\rho}+\eta_{\mu\rho}M_{\nu\lambda}-\eta_{\mu\lambda}M_{\nu\rho}-\eta_{\nu\rho}M_{\mu\lambda})\)
\([K_{\mu},K_{\nu}] = [P_{\mu},P_{\nu}] = [D,M_{\mu\nu}] = 0\)
Cartan部分環、ルート分解、最低ウェイト条件
以下、\(m=[(n+3)/2]=\mathrm{rank}(so(n+1,2))\)
\(\mathfrak{g}_{\mathbf{C}} = so(n+1,2)_{\mathbf{C}} \simeq so(n+3,\mathbf{C})\)
\(j=0, \cdots , m-1\)に対して、\(\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}\)のCartan部分環\(\mathfrak{h}\)の基底を
\(h_j = i Y_{j,n+2-j}\)
に取る。
\(Y_{0,n+2} \cdot f = i\dfrac{n-1}{2} f\)
\(Y_{1,n+1} \cdot f = 0\)
\(Y_{j,n+2-j} \cdot f= 0 \space ( j =2, \cdots , m-1)\)
\(\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}\)を、Cartan部分環の作用でルート分解する。
\(\epsilon,\epsilon'=\pm 1\)、\(0 \le j \lt k \le m-1\)に対して
\(X_{jk}^{(\epsilon,\epsilon')} =Y_{jk} + \epsilon Y_{n+2-j,n+2-k} + i\epsilon \epsilon' Y_{j,n+2-k} - i \epsilon' Y_{n+2-j,k}\)
を定義すると、
\(\eta_{jj}=\eta_{n+2-j,n+2-j}\),\(\epsilon^2=\epsilon'^2=1\)
に注意して
\([Y_{j,n+2-j},X_{jk}^{(\epsilon\epsilon')}] = -i \epsilon' \eta_{jj} X_{jk}^{(\epsilon\epsilon')}\)
\([Y_{k,n+2-k},X_{jk}^{(\epsilon\epsilon')}] = i \epsilon \epsilon' \eta_{kk} X_{jk}^{(\epsilon \epsilon')}\)
また、\(n\)が偶数の時は
\(W_{j}^{(\epsilon)} = Y_{j,m} - i \epsilon Y_{n+2-j,m}\)
として
\([Y_{j,n+2-j} , W_{j}^{(\epsilon)}] = -i \epsilon \eta_{jj} W_{j}^{(\epsilon)}\)
添字\(a=1,\cdots,n\)に対して、簡単な計算で
\(M_{0a} \cdot f = -k_a \cdot f\)
\(Y_{a,n+1} \cdot f = 0\)
\(Y_{a,n+2} \cdot f = -ik_a \cdot f\)
かつ
\(Y_{0,n+1} \cdot f = -i(k - \dfrac{n-1}{2})f\)
\(Y_{0,n+2} \cdot f = \dfrac{i}{2}(n-1) f\)
\(Y_{n+1,n+2} \cdot f = -(k - \dfrac{n-1}{2})f\)
で、回転対称性から、\(a,b=1,\cdots,n\)に対しては
\(Y_{ab} \cdot f = M_{ab} \cdot f = 0\)
なので、
\(W_{0}^{(-1)} \cdot f =0\)
\(W_{k}^{(\pm 1)} \cdot f = 0\)
\((X_{0k}^{(+1,+1)} +X_{0k}^{(-1,+1)})\cdot f = 2(Y_{0k} + i Y_{k,n+2})f = 0\)
\((X_{0k}^{(+1,+1)} - X_{0k}^{(-1,+1)})\cdot f=-2i(Y_{0,n+2-k}+iY_{n+2-k,n+2})f = 0\)
\(X_{0k}^{(\epsilon,+1)} \cdot f = 0\)
\(X_{1k}^{(\epsilon,\epsilon')} \cdot f = 0\)
\(X_{jk}^{(\epsilon,\epsilon')} \cdot f = 0\)