計算ノート:Calogero型模型

Classical R-matrix structure for the Calogero model
https://arxiv.org/abs/hep-th/9210128
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/037026939390039K

arXivのpreprintは、間違いが多いので注意が必要。また、published paperも、r-matrixの符号が間違っているように思う

description

Calogero型模型のHamiltonianは \[H = \dfrac{1}{2} \sum_{i=1}^n p_i^2 + \dfrac{1}{2} \sum_{i \neq j} v(q_i - q_j)\] \[v(x) = \dfrac{1}{x^2}\] で、Poisson括弧は \[\{q_i , p_j\} = \delta_{ij} , \{q_i,q_j\} = \{p_i , p_j\}=0\] で定義される。運動方程式は \[\dot{ q_i } = \{q_i , H\} = p_i\] \[\dot{ p_i } = \{p_i ,H \} = \dfrac{1}{2} \sum_{j=1,j \neq i}^{n} \left[ -v'(q_i - q_j) + v'(q_j - q_i) \right] = \sum_{j=1,j \neq i}^{n} \dfrac{2}{(q_i - q_j)^3}\] と書ける。

$v(x)$は有理関数であるが、これ以外にも、Liouville可積分となるポテンシャル$v(x)$が存在する。ここでは、$v(x)$が上の形のものに限定して考察する。これを特にCalogero-Moser模型と呼ぶ

Lax形式

Lax形式で、この系を書く。$e_{ij}$を行列単位として、 \[L = \sum_{i=1}^n p_i e_{ii} + \sqrt{-1} \sum_{i \neq j} w(q_i - q_j)e_{ij}\] \[w(x) =\sqrt{v(x)} = \dfrac{1}{x}\] \[M = \sqrt{-1} \left( \sum_{i=1}^n \left( \sum_{k=1,k\neq i}^n z(q_i - q_k) \right) e_{ii} + \sum_{j \neq k} w'(q_j - q_k) e_{jk} \right)\] \[z(x) = \dfrac{w''(x)}{2w(x)} = \dfrac{1}{x^2}\] と置く時、Lax方程式は \[\dfrac{d}{dt}L = [L,M]\] となる。右辺を具体的に計算する

まず、$[L,M]$の対角成分については \[\sum_{j=1}^n \left( L_{ij}M_{ji} - M_{ij}L_{ji} \right) = \sum_{j=1,j \neq i}^n \left( L_{ij}M_{ji} - M_{ij}L_{ji} \right) = -\sum_{j=1,j \neq i}^n \left( w(q_i - q_j) w'(q_j - q_i) - w'(q_i - q_j)w(q_j - q_i) \right) = \sum_{j=1,j \neq i}^n \dfrac{2}{(q_i - q_j)^3}\] となる。

非対角成分は、$i \neq j$として \[\sum_{s=1}^n \left( L_{is}M_{sj} - M_{is}L_{sj} \right) = (L_{ii} - L_{jj})M_{ij} + L_{ij}(M_{jj} - M_{ii}) + \sum_{s\neq i ,j}^n\left( L_{is}M_{sj} - M_{is}L_{sj} \right)\] \[ = \sqrt{-1}(p_i - p_j)w'(q_i - q_j) - w(q_i-q_j) \left( \sum_{l \neq j}^n z(q_j-q_l) - \sum_{l \neq i}^n z(q_i - q_l) \right) - \sum_{s\neq i,j}\left( w(q_i-q_s)w'(q_s-q_j) - w'(q_i-q_s)w(q_s - q_j) \right)\] \[ = \sqrt{-1}(p_i - p_j)w'(q_i - q_j) - w(q_i-q_j) \sum_{l \neq i,j}^n \left( z(q_j-q_l) - z(q_i - q_l) \right) - \sum_{s\neq i,j}\left( w(q_i-q_s)w'(q_s-q_j) - w'(q_i-q_s)w(q_s - q_j) \right)\]

最後の変形で、$z(q_i - q_j) = z(q_j - q_i)$を使った以外は、関数の具体的な形に関する仮定を用いていない。次の恒等式 \[-w(x-y)\left(z(y) - z(x) \right) - w(x)w'(-y) + w'(x)w(-y) = 0\] は容易に示すことができ、これによって、非対角成分の第二・第三項は消え、結局 \[[L,M] = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1,j \neq i}^n \dfrac{2}{(q_i-q_j)^3} \right) e_{ii} + \sqrt{-1} \sum_{i \neq j} (p_i - p_j)w'(q_i - q_j)e_{ij}\] を得る

また、$[L,M]=\{ L_{ij}, H \}$であることが、以下のようにして分かるので$L$の行列要素の時間発展はLax方程式で書ける。 \[\{L_{ij} , H\} = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1,j \neq i}^n \{p_i ,v(q_i-q_j) \} \right)e_{ii} + \dfrac{\sqrt{-1}}{2} \sum_{i \neq j} \{w(q_i-q_j) , p_i^2+p_j^2 \} e_{ij} =[L,M]\]

Lax方程式には、包合的かつ独立な保存量$I_k=tr(L^k)$が存在するが、 \[tr(L^2) = \sum_{i=1}^n p_i^2 - \sum_{i \neq j} w(q_i-q_j)w(q_j-q_i) = 2H\] であることから分かる。$I_k$の独立性は、$p_i$の最高次の次数がkであることから従う。包合性は直接示すこともできるが、r-matrixの一般論に帰着させて示すことできるので省略する

classical r-matrix

比較的簡単な計算によって、$L$の行列要素に対するPoisson括弧は \[\sum_{i,j,k,l} \{L_{ij} , L_{kl}\} e_{ij} \otimes e_{kl} = -\sqrt{-1} \sum_{i \neq j} w'(q_i - q_j) \left( e_{ii} \otimes e_{ij} - e_{ii} \otimes e_{ji} + e_{ji} \otimes e_{ii} - e_{ij} \otimes e_{ii} \right)\] を満たす。成分を明示的に書くと \[ \{L_{ij} , L_{kl}\} = \{ p_i \delta_{ij} + \sqrt{-1} (1- \delta_{ij})w(q_i-q_j) , p_k \delta_{kl} +\sqrt{-1} (1- \delta_{kl})w(q_k-q_l) \} \] \[= \sqrt{-1} \left( \delta_{ij} (1 - \delta_{kl}) \{p_i , w(q_k-q_l) \} + (1 - \delta_{ij})\delta_{kl} \{w(q_i - q_j) , p_k \} \right)\] \[= \sqrt{-1} \left( \delta_{ij} (1 - \delta_{kl})(-\delta_{ik} + \delta_{il}) w'(q_k-q_l) + (1 - \delta_{ij})\delta_{kl}(\delta_{ik} - \delta_{jk})w'(q_i - q_j) \right)\] となる。

これは、classical r-matrixによって \[\sum_{i,j,k,l} \{L_{ij} , L_{kl}\} e_{ij} \otimes e_{kl} = [r , L \otimes 1] - [r^{*} , 1 \otimes L]\] とも書ける。但し \[r = \sum_{i,j,k,l} r_{ijkl} e_{ij} \otimes e_{kl}\] に対して \[r^{*} = \sum_{i,j,k,l} r_{ijkl} e_{kl} \otimes e_{ij}\] で定義する。そのようなclassical r-matrixを天下り的に与える(論文では、この要求に、様々な条件を課して、発見的に見つけたらしい) \[r = \sum r_{ijkl} e_{ij} \otimes e_{kl} = -\sum_{i \neq j} \dfrac{w'(q_i-q_j)}{w(q_i-q_j)} e_{ij} \otimes e_{ji} + \dfrac{1}{2}\sum_{i \neq j} w(q_i-q_j) e_{ii} \otimes (e_{ij} - e_{ji})\]

成分で書くと、証明すべきは \[\{L_{ij} , L_{kl}\} = \sum_{a=1}^n (r_{iakl}L_{aj} - L_{ia}r_{ajkl} - r_{kaij}L_{al} + L_{ka} r_{alij})\] となる。まず \[\sum_a (r_{iakl} p_a \delta_{aj} - p_i \delta_{ia} r_{ajkl} - r_{kaij}p_a\delta_{al}+p_k\delta_{ka}r_{alij} = (p_j-p_i)r_{ijkl} +(p_k-p_l)r_{klij}\] だけど \[(p_j-p_i)(1-\delta_{ij})\delta_{kj}\delta_{il}\dfrac{w'(q_i-q_j)}{w(q_i-q_j)} +(p_k-p_l)(1-\delta_{kl})\delta_{il}\delta_{jk}\dfrac{w'(q_k-q_l)}{w(q_k-q_l)} \] \[= \delta_{kj}\delta_{il} \left( (p_j-p_i)(1-\delta_{ij}) \dfrac{w'(q_i-q_j)}{w(q_i-q_j)} + (p_k-p_l)(1-\delta_{kl})\dfrac{w'(q_k-q_l)}{w(q_k-q_l)} \right) \] \[= \delta_{kj}\delta_{il} \left( (p_j-p_i)(1-\delta_{ij}) \dfrac{w'(q_i-q_j)}{w(q_i-q_j)} + (p_j-p_i)(1-\delta_{ij})\dfrac{w'(q_j-q_i)}{w(q_j-q_i)} \right) = 0\] などから、 \[(p_j-p_i)r_{ijkl} +(p_k-p_l)r_{klij} = 0\] が言える。残りの項は \[\sqrt{-1} \left( \sum_{a=1,a\neq j}^n r_{iakl} w(q_a - q_j) - \sum_{a=1, a \neq i}^n r_{ajkl}w(q_i-q_a) - \sum_{a=1,a \neq l}^n r_{kaij} w(q_a-q_l) + \sum_{a=1,a \neq k}^n r_{alij} w(q_k - q_a) \right)\] である。複雑なので細かく場合分けして計算する方がいい。$k=l$の場合、$r_{ijkl}=0$に注意する。更に、$i=j$であるとすると、この場合は、簡単な計算でPoisson括弧を再現する。次に、$k=l=c$かつ$i \neq j$とする。この場合、 \[ \{ L_{ij} , L_{cc} \} = \sqrt{-1} (1-\delta_{ij})(\delta_{ic} - \delta_{jc})w'(q_i-q_j)\] \[r_{iacc} = r_{jacc} = 0\] \[r_{caij} = -(1- \delta_{ca})\delta_{ai}\delta_{cj}\dfrac{w'(q_c-q_a)}{w(q_c-q_a)} + \dfrac{1}{2}\delta_{ca}(1-\delta_{ij})(\delta_{ic}w(q_c-q_j)-\delta_{jc}w(q_c-q_i))\] \[r_{acij} = -(1-\delta_{ac})\delta_{ci}\delta_{aj}\dfrac{w'(q_a-q_c)}{w(q_a-q_c)} + \dfrac{1}{2}\delta_{ca}(1-\delta_{ij})(\delta_{ia}w(q_a-q_j)-\delta_{jc}w(q_a-q_i))\] \[\sum_{a=1,a\neq c}^n r_{caij}w(q_a-q_c) = (1-\delta_{ic})\delta_{cj}w'(q_c-q_i) = (1-\delta_{ij})\delta_{jc}w'(q_j-q_i)\] \[\sum_{a=1,a\neq c}^n r_{acij}w(q_c-q_a) = (1-\delta_{jc})\delta_{ic}w'(q_j-q_i) = (1-\delta_{ij})\delta_{ic}w'(q_j-q_i)\] などから従う。あと、$k \neq l$かつ$i=j$の場合と$k \neq l$かつ$ j$の場合があるが、省略

また、 \[M = -tr_2 (r(1 \otimes L))\] が成立する。但し、$tr_2$は第二成分に関するトレースで \[tr_2( \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl} e_{ij} \otimes e_{kl} ) = \sum_{i,j} \sum_{k=1}^n a_{ijkk} e_{ij}\] と定義する

$L$と$r$の成分は \[L_{kl} = p_{k} \delta_{kl} + \sqrt{-1}(1 - \delta_{kl}) w(q_k - q_l)\] \[r_{ijkl} = -(1-\delta_{ij})\delta_{kj}\delta_{il}\dfrac{w'(q_i-q_j)}{w(q_i-q_j)} + \dfrac{1}{2} \delta_{ij}(1-\delta_{kl})(\delta_{ik}w(q_i-q_l)-\delta_{il}w(q_i-q_k))\] なので、定義通りに \[\sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^n r_{ijkl} L_{lk}\] を計算する。$(1-\delta_{kl})\delta_{lk}=0$に注意すると \[\sum_{k,l} (p_k \delta_{lk})r_{ijkl} = -\sum_{k,l} (1-\delta_{ij})\delta_{kj}\delta_{li} \delta_{lk}\dfrac{w'(q_i-q_j)}{w(q_i-q_j)} = -(1-\delta_{ij})\delta_{ji}\dfrac{w'(q_i-q_j)}{w(q_i-q_j)} = 0\] が分かる。残りの部分は \[\sum_{k,l} \sqrt{-1}(1 - \delta_{lk}) w(q_l - q_k) r_{ijkl} \] \[= -\sqrt{-1}\sum_{k,l} \left( (1-\delta_{lk})(1-\delta_{ij})\delta_{kj}\delta_{li}w'(q_i-q_j) - \dfrac{1}{2} \delta_{ij} (1-\delta_{kl})^2 (\delta_{ik}w(q_i-q_l) - \delta_{il} w(q_i - q_k))w(q_l-q_k) \right)\] \[= -\sqrt{-1}(1-\delta_{ij})w'(q_i - q_j) + \dfrac{\sqrt{-1}}{2} \delta_{ij} \left(\sum_{l=1}^n(1-\delta_{il})w(q_i-q_l)w(q_l-q_i) - \sum_{k=1}^n(1-\delta_{ik})w(q_i-q_k)^2 \right)\] \[= -\sqrt{-1} \left( \delta_{ij} \sum_{k=1}^n (1-\delta_{ik}) w(q_i-q_k)^2 + (1-\delta_{ij})w'(q_i-q_j) \right)\] \[= -M_{ij}\]

[補足]論文では、r-marixの符号が間違っていると思う件。一般論によって、上のように \[\sum_{i,j,k,l} \{L_{ij} , L_{kl}\} e_{ij} \otimes e_{kl} = [r , L \otimes 1] - [r^{*} , 1 \otimes L]\] で、Poisson括弧を定義する(勿論、r-matrixはYang-Baxter方程式を満たしているとする)と \[\{ L , tr(L^m/m) \} = [tr_2(r(I \otimes L^{m-1})) , L]\] が言える。今の場合、ハミルトニアンは$H=tr(L^2)/2$であったので、$M=-tr_2(r(1 \otimes L))$とすると \[\dfrac{dL}{dt} = \{L , H \} = [tr_2(r(I\otimes L)) , L] = [-M , L] = [L, M]\] で、Lax方程式が従う。論文では、$M=tr_2(r(1 \otimes L))$としてしまっている

射影法による求積

Liouville可積分系の作用・角変数を計算するのは、大抵の場合難しい。Calogero-Moser模型では、射影法と呼ばれる解法がある。以下、この方法について、天下り的に概要を記述する。

[射影法の背景]射影法の起源は、Calogero-Moser模型の相空間の幾何学にある。Calogero-Moser模型の"正しい"相空間は、Calogero-Moser spaceと呼ばれる$2n$次元の空間であり、Calogero-Moser spaceは通常、symplectic reductionによって構成されるが、この構成を追いかけていくと、自然にLax pairや射影法を理解できる。

Lax pair \[L = \sum_{1=1}^n p_i e_{ii} + \sqrt{-1} \sum_{i \neq j} w(q_i - q_j)e_{ij}\] \[w(x) =\sqrt{v(x)} = \dfrac{1}{x}\] \[M = \sqrt{-1} \left( \sum_{i=1}^n \left( \sum_{k=1,k\neq i}^n z(q_i - q_k) \right) e_{ii} + \sum_{j \neq k} w'(q_j - q_k) e_{jk} \right)\] \[z(x) = \dfrac{w''(x)}{2w(x)} = \dfrac{1}{x^2}\] に加えて \[Q=diag(q_1,\cdots,q_n)\] を考えると \[L = \dot{Q} + [M,Q]\] が成立する。

まず、$[M,Q]$の対角成分は、$Q$が対角行列なので$0$となる。非対角成分は、$i \neq j$に対して \[\sum_{k=1}^n \left( M_{ik} Q_{kj} - Q_{ik} M_{kj} \right) = M_{ij} q_{j} - M_{ji} q_i = \sqrt{-1} \left( w'(q_i - q_j) q_{j} - w'(q_j - q_i) q_{i} \right) = L_{ij}\] なので、あとは、$L$の対角成分と$\dot{Q}$の対角成分が等しければいいが、これは、運動方程式から従う。

行列$M$に対して、$U(0)=I$,$\dot{U}+MU=0$という初期値問題の解$U(t)$を考える。$M$がskew-hermitianなので、$U(t)$はユニタリ行列となる。 \[X = U^{-1}QU , Y = U^{-1}LU\] とすると、 \[\dot{X} = Y , \dot{Y} = 0\] が成立する。これは、直線運動であって、$X(t) = Q(0) + L(0)t$ , $Y(t)=L(0)$と解ける。$X(t)$を対角化したものが$Q(t)$なので、$X(t)$の固有値が位置$q_i$を与え、微分すれば、運動量$p_i$が得られる。固有値なので、順序の不定性があるけれど、一次元空間上の運動なので、直感的に分かる通り、粒子は他の粒子を追い越すことはできず、互いの順序は保たれる(Calogero-Moser spaceは、複素$2n$次元空間なので、この議論は使えないが、物理としては、位置・運動量は実数値としてので十分と思われる)

ここで、 \[[X(t),Y(t)] = [Q[0]+L[0]t , L[0]] = [Q[0],L[0]]\] は時間$t$に依存しない定数行列となる。

逆に、Calogero-Moser模型は、適当な定数行列$J$に対して \[[X,Y] = J\] \[\dot{X} = Y , \dot{Y}=0\] と等価になる。１つ目の式は、拘束条件であり、Calogero-Moser模型の相空間がsymplectic reductionで得られる理由は、この拘束条件に由来する

別の見方をすると \[I_n = tr(L^n) , J_n = tr(QL^{n-1})\] と置くと、Calogero-Moser模型は \[\dot{I_n} = 0 , \dot{J_n} = I_n\] と等価。$I_1$と$J_1$は、運動量の総和及び、位置の総和である

※)Calogero-Moser模型の作用・角変数の構成は射影法の発見より後になって分かった
Action-angle maps and scattering theory for some finite-dimensional integrable systems
https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104160851

量子化

Calogero-Moser spaceの量子化は、rational Cherednik algebraであると言われている

Lectures on Calogero-Moser systems
https://arxiv.org/abs/math/0606233

Cherednik algebras and Yangians
https://academic.oup.com/imrn/article-abstract/2005/57/3551/673306/Cherednik-algebras-and-Yangians

※)"量子化"には、"algebra of observables"を構成するものと、"vector space of quantum states"を構成するものの二種類がある。ここでの量子化は、前者の量子化を意味する。変形量子化は前者、幾何学的量子化は後者のタイプ。いわゆる正準量子化は、表面的には前者であるが、後者も自動的に定まるという特徴がある(Stone-von Neumannの定理)。