計算ノート:非周期有限戸田格子

Lax形式

Flaschka変数を用いて記述する(Flaschka変数の説明は至る所にあるので省略)。 $a_i(i=1,\cdots,n-1)$ と $b_i(i=1,\cdots,n)$ という $2n-1$ 個の変数に対して、Poisson括弧を $\{a_i , b_i \} = -a_i , \{a_i,b_{i+1} \} = a_i$ で、他の場合は全て $0$ になるものとして定義する。 $e_{ij}$ を行列単位として、 $n$ 行 $n$ 列の正方行列 $L,M$ を $L = \sum_{i=1}^{n-1} a_i (e_{i,i+1} + e_{i+1,i}) + \sum_{i=1}^n b_i e_{ii}$ $M = \sum_{i=1}^{n-1} a_i (-e_{i,i+1} + e_{i+1,i})$ と置く。この時、 $H=tr(L^2)/2$ をHamiltonianとする古典力学系が、非周期有限戸田格子。

天下り的に、classical r-matrixを導入し、 $r = \sum_{j < k} (e_{jk} \otimes e_{kj} - e_{kj} \otimes e_{jk})$ 簡単なチェックとして、 $M = -tr_2(r( 1 \otimes L))$ を見る。より、一般に $n \times n$ 行列 $X$ に対して、 $tr_2(r(1 \otimes X))$ は $X$ の上三角成分から下三角成分を引いたものになる。つまり、 $X=U+D+L$ と、 $U$ を上三角成分、 $D$ を対角成分、 $L$ を下三角成分に分解すれば、 $tr_2(r(1 \otimes X)) = U-L$ である。これが正しいとすれば、 $M = -tr_2(r( 1 \otimes L))$ は明らか。 $X = \sum_{i,j} X_{ij} e_{ij}$ として $\theta_{ij}$ を $i<j$ の時、1で、それ以外の時、0になるものとすると $r_{ijkl} = (\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{il}\delta_{jk}$ なので $\sum_{k,l} r_{ijkl} X_{lk} = \sum_{k,l} (\theta_{ij} - \theta_{ji}) \delta_{il} \delta_{jk} X_{lk} = (\theta_{ij} - \theta_{ji})X_{ij}$ を得る。従って、 $Y = tr_2(r(1 \otimes X))$ は、 $i<j$ の時 $Y_{ij}= X_{ij}$ で、 $i>j$ の時 $Y_{ij}=-X_{ij}$ が言える。また $i=j$ であれば $Y_{ij}=0$ となる

$a= \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl} e_{ij} \otimes e_{kl}$ に対して $a^{*} = \sum_{ijkl} a_{ijkl} e_{kl} \otimes e_{ij}$ と定義すると、 $r^{*}=-r$ であるので、 $\sum_{i,j,k,l} \{ L_{ij} , L_{kl} \} e_{ij} \otimes e_{kl} = [r,L \otimes 1] - [r^{*} , 1 \otimes L] = [r, L\otimes 1+1\otimes L]$ が成立しなければならない。

成分で書くと $\{ L_{ij} . L_{kl} \} = \sum_{c=1}^n (r_{ickl}L_{cj} - L_{ic}r_{cjkl} + r_{ijkc} L_{cl} - L_{kc}r_{ijcl})$ となる。左辺は、

$L = \begin{pmatrix} b_1 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_1 & b_2 & a_2 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \ddots & a_{n-1} \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} & b_n \end{pmatrix}$

を見ると、対角成分とその上下、左右の成分以外とのPoisson括弧は $0$ になることが分かる $\{ L_{ij}, L_{kl} \} = (a_i\delta_{ij} - a_k \delta_{kl})(\delta_{i-1,k}\delta_{jl} + \delta_{ik}\delta_{j-1,l} - \delta_{i+1,k}\delta_{jl} - \delta_{ik}\delta_{j+1,l})$

次に、右辺。 $r_{ijkl} = (\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{il}\delta_{jk}$ $\sum_{c=1}^n r_{ickl} L_{cj} = \sum_{c=1}^n (\theta_{ic}-\theta_{ci})\delta_{il}\delta_{ck}L_{cj} = (\theta_{ik} - \theta_{ki})\delta_{il}L_{kj} = (\theta_{ik} - \theta_{ki})\delta_{il}(b_k \delta_{jk} + a_k(\delta_{k+1,j} + \delta_{k,j+1}))$ $\sum_{c=1}^n r_{cjkl}L_{ic} = \sum_{c=1}^n (\theta_{cj} - \theta_{jc})\delta_{cl}\delta_{jk}L_{ic} = (\theta_{lj} - \theta_{jl})\delta_{jk}L_{il} = (\theta_{lj} - \theta_{jl})\delta_{jk}(b_i \delta_{il} + a_i(\delta_{i+1,l} + \delta_{i,l+1}))$ $\sum_{c=1}^n r_{ijkc} L_{cl} = \sum_{c=1}^n (\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{ic}\delta_{jk}L_{cl} = (\theta_{ij}-\theta_{ji})\delta_{jk}L_{il} = (\theta_{ij}-\theta_{ji})\delta_{jk}(b_i \delta_{il} + a_i(\delta_{i+1,l} +\delta_{i,l+1}))$ $\sum_{c=1}^n r_{ijcl} L_{kc} = \sum_{c=1}^n (\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{il}\delta_{jc}L_{kc} = (\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{il}L_{kj} = (\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{il}(b_k \delta_{kj} + a_k(\delta_{k+1,j} + \delta_{k,j+1}))$ となる。まず、右辺に $b_i$ に関する項が出ないことを見る $b_k (\theta_{ik} - \theta_{ki})\delta_{il}\delta_{jk} = b_k (\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{il}\delta_{jk}$ などに注意すれば $b_k (\theta_{ik} - \theta_{ki})\delta_{il}\delta_{jk} - b_i(\theta_{lj} - \theta_{jl})\delta_{jk}\delta_{il} + b_i(\theta_{ij}-\theta_{ji})\delta_{jk}\delta_{il} - b_k(\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{il} \delta_{kj} = 0$ は明らか

従って $\sum_{c=1}^n (r_{ickl}L_{cj} - L_{ic}r_{cjkl} + r_{ijkc} L_{cl} - L_{kc}r_{ijcl}) = a_k(\delta_{k+1,j} + \delta_{k,j+1})\delta_{il}(\theta_{ik} - \theta_{ki} - \theta_{ij} + \theta_{ji}) - a_i(\delta_{i+1,l} + \delta_{i,l+1})\delta_{jk}(\theta_{lj} - \theta_{jl} - \theta_{ij} + \theta_{ji})$ である。容易に見て取れる通り、 $i=l$ か $j=k$ の少なくとも一方が成立しないと0である。更に、 $i=l$ かつ $j=k$ である場合、 $\delta_{k+1,j} + \delta_{k,j+1} = 0$ $\delta_{i+1,l} + \delta_{i,l+1} = 0$ なので、 $i=l$ か $j=k$ の一方のみが成立している。 $i=l$ , $j\neq k$ とすると、第二項は $0$ で、第一項は $j=k+1$ か $j=k-1$ の場合以外は $0$ であることが分かる。例えば、 $i=l$ , $j=k+1$ とすると、 $\theta_{ik} - \theta_{ki} - \theta_{ij} + \theta_{ji}$ が $0$ でないのは $i=j$ か $i=k$ の時のみ。など、丹念に場合分けして符号を決めていけば、Poisson括弧を再現できることが示せる

求積

QR分解による解法が知られている。多くの解説があるので省略

量子化

非周期有限戸田格子(open Toda chain)の量子化に関しては、1978年のKostantの論文を通して理解される

On Whittaker vectors and representation theory
https://link.springer.com/article/10.1007/BF01390249

$U(\mathfrak{g})$ の中心は、そのBorel部分代数(の普遍展開環) $U(\mathfrak{b}_{+})$ のある可換部分代数と同型になり、quantum open toda chainのhigher hamiltoniansは、この可換代数の元として理解でき、従って、higher Casimirsの像となっている