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計算ノート:非周期有限戸田格子

Lax形式

Flaschka変数を用いて記述する(Flaschka変数の説明は至る所にあるので省略)。\(a_i(i=1,\cdots,n-1)\)と\(b_i(i=1,\cdots,n)\)という\(2n-1\)個の変数に対して、Poisson括弧を \[\{a_i , b_i \} = -a_i , \{a_i,b_{i+1} \} = a_i\] で、他の場合は全て\(0\)になるものとして定義する。\(e_{ij}\)を行列単位として、\(n\)行\(n\)列の正方行列\(L,M\)を \[L = \sum_{i=1}^{n-1} a_i (e_{i,i+1} + e_{i+1,i}) + \sum_{i=1}^n b_i e_{ii}\] \[M = \sum_{i=1}^{n-1} a_i (-e_{i,i+1} + e_{i+1,i})\] と置く。この時、\(H=tr(L^2)/2\)をHamiltonianとする古典力学系が、非周期有限戸田格子。

天下り的に、classical r-matrixを導入し、 \[r = \sum_{j < k} (e_{jk} \otimes e_{kj} - e_{kj} \otimes e_{jk})\] 簡単なチェックとして、 \[M = -tr_2(r( 1 \otimes L))\] を見る。より、一般に\(n \times n\)行列\(X\)に対して、\(tr_2(r(1 \otimes X))\)は\(X\)の上三角成分から下三角成分を引いたものになる。つまり、\(X=U+D+L\)と、\(U\)を上三角成分、\(D\)を対角成分、\(L\)を下三角成分に分解すれば、\(tr_2(r(1 \otimes X)) = U-L\)である。これが正しいとすれば、\(M = -tr_2(r( 1 \otimes L))\)は明らか。 \[X = \sum_{i,j} X_{ij} e_{ij}\] として\(\theta_{ij}\)を\(i<j\)の時、1で、それ以外の時、0になるものとすると \[r_{ijkl} = (\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{il}\delta_{jk}\] なので \[\sum_{k,l} r_{ijkl} X_{lk} = \sum_{k,l} (\theta_{ij} - \theta_{ji}) \delta_{il} \delta_{jk} X_{lk} = (\theta_{ij} - \theta_{ji})X_{ij}\] を得る。従って、\(Y = tr_2(r(1 \otimes X))\)は、\(i<j\)の時\(Y_{ij}= X_{ij}\)で、\(i>j\)の時\(Y_{ij}=-X_{ij}\)が言える。また\(i=j\)であれば\(Y_{ij}=0\)となる

\[a= \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl} e_{ij} \otimes e_{kl}\] に対して \[a^{*} = \sum_{ijkl} a_{ijkl} e_{kl} \otimes e_{ij}\] と定義すると、\(r^{*}=-r\)であるので、 \[\sum_{i,j,k,l} \{ L_{ij} , L_{kl} \} e_{ij} \otimes e_{kl} = [r,L \otimes 1] - [r^{*} , 1 \otimes L] = [r, L\otimes 1+1\otimes L]\] が成立しなければならない。

成分で書くと \[\{ L_{ij} . L_{kl} \} = \sum_{c=1}^n (r_{ickl}L_{cj} - L_{ic}r_{cjkl} + r_{ijkc} L_{cl} - L_{kc}r_{ijcl})\] となる。左辺は、

\[L = \begin{pmatrix} b_1 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_1 & b_2 & a_2 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \ddots & a_{n-1} \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} & b_n \end{pmatrix}\]

を見ると、対角成分とその上下、左右の成分以外とのPoisson括弧は\(0\)になることが分かる \[\{ L_{ij}, L_{kl} \} = (a_i\delta_{ij} - a_k \delta_{kl})(\delta_{i-1,k}\delta_{jl} + \delta_{ik}\delta_{j-1,l} - \delta_{i+1,k}\delta_{jl} - \delta_{ik}\delta_{j+1,l})\]

次に、右辺。 \[r_{ijkl} = (\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{il}\delta_{jk}\] \[\sum_{c=1}^n r_{ickl} L_{cj} = \sum_{c=1}^n (\theta_{ic}-\theta_{ci})\delta_{il}\delta_{ck}L_{cj} = (\theta_{ik} - \theta_{ki})\delta_{il}L_{kj} = (\theta_{ik} - \theta_{ki})\delta_{il}(b_k \delta_{jk} + a_k(\delta_{k+1,j} + \delta_{k,j+1}))\] \[\sum_{c=1}^n r_{cjkl}L_{ic} = \sum_{c=1}^n (\theta_{cj} - \theta_{jc})\delta_{cl}\delta_{jk}L_{ic} = (\theta_{lj} - \theta_{jl})\delta_{jk}L_{il} = (\theta_{lj} - \theta_{jl})\delta_{jk}(b_i \delta_{il} + a_i(\delta_{i+1,l} + \delta_{i,l+1}))\] \[\sum_{c=1}^n r_{ijkc} L_{cl} = \sum_{c=1}^n (\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{ic}\delta_{jk}L_{cl} = (\theta_{ij}-\theta_{ji})\delta_{jk}L_{il} = (\theta_{ij}-\theta_{ji})\delta_{jk}(b_i \delta_{il} + a_i(\delta_{i+1,l} +\delta_{i,l+1}))\] \[\sum_{c=1}^n r_{ijcl} L_{kc} = \sum_{c=1}^n (\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{il}\delta_{jc}L_{kc} = (\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{il}L_{kj} = (\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{il}(b_k \delta_{kj} + a_k(\delta_{k+1,j} + \delta_{k,j+1}))\] となる。まず、右辺に\(b_i\)に関する項が出ないことを見る \[b_k (\theta_{ik} - \theta_{ki})\delta_{il}\delta_{jk} = b_k (\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{il}\delta_{jk}\] などに注意すれば \[b_k (\theta_{ik} - \theta_{ki})\delta_{il}\delta_{jk} - b_i(\theta_{lj} - \theta_{jl})\delta_{jk}\delta_{il} + b_i(\theta_{ij}-\theta_{ji})\delta_{jk}\delta_{il} - b_k(\theta_{ij} - \theta_{ji})\delta_{il} \delta_{kj} = 0\] は明らか

従って \[\sum_{c=1}^n (r_{ickl}L_{cj} - L_{ic}r_{cjkl} + r_{ijkc} L_{cl} - L_{kc}r_{ijcl}) = a_k(\delta_{k+1,j} + \delta_{k,j+1})\delta_{il}(\theta_{ik} - \theta_{ki} - \theta_{ij} + \theta_{ji}) - a_i(\delta_{i+1,l} + \delta_{i,l+1})\delta_{jk}(\theta_{lj} - \theta_{jl} - \theta_{ij} + \theta_{ji})\] である。容易に見て取れる通り、\(i=l\)か\(j=k\)の少なくとも一方が成立しないと0である。更に、\(i=l\)かつ\(j=k\)である場合、 \[\delta_{k+1,j} + \delta_{k,j+1} = 0\] \[\delta_{i+1,l} + \delta_{i,l+1} = 0\] なので、\(i=l\)か\(j=k\)の一方のみが成立している。\(i=l\),\(j\neq k\)とすると、第二項は\(0\)で、第一項は\(j=k+1\)か\(j=k-1\)の場合以外は\(0\)であることが分かる。例えば、\(i=l\),\(j=k+1\)とすると、\(\theta_{ik} - \theta_{ki} - \theta_{ij} + \theta_{ji}\)が\(0\)でないのは\(i=j\)か\(i=k\)の時のみ。など、丹念に場合分けして符号を決めていけば、Poisson括弧を再現できることが示せる

求積

QR分解による解法が知られている。多くの解説があるので省略

量子化

非周期有限戸田格子(open Toda chain)の量子化に関しては、1978年のKostantの論文を通して理解される

On Whittaker vectors and representation theory
https://link.springer.com/article/10.1007/BF01390249

\(U(\mathfrak{g})\)の中心は、そのBorel部分代数(の普遍展開環)\(U(\mathfrak{b}_{+})\)のある可換部分代数と同型になり、quantum open toda chainのhigher hamiltoniansは、この可換代数の元として理解でき、従って、higher Casimirsの像となっている