classical r-matrixとLax方程式

Lie-Poisson構造

有限次元Lie環\(\mathfrak{g}\)に対して、対称代数\(S(\mathfrak{g})\)には、 \[ \{x, y\}_{S(\mathfrak{g})} = [x,y]_{\mathfrak{g}} \space (x,y \in \mathfrak{g})\] によって、Poisson代数の構造が入る(以下、係数体は、実数体を仮定するが、複素数体でも同様)。\(S(\mathfrak{g})\)は、\(\mathfrak{g}^{*}\)上の多項式関数環と同一視できるので、\(\mathfrak{g}^{*}\)には自然にPoisson多様体の構造が入る。これはLie-Poisson構造と呼ばれるもので、代数的には単純な代物である。

Lie-Poisson構造は、幾何学的に構成することもできる。代数的な構成のみでも議論できるけど、文献ではよく見るので、書いておく。
\(f \in C^{\infty}(\mathfrak{g}^{*})\)と\(\xi \in \mathfrak{g}^{*}\)に対して、\(d_{\xi}f : T_{\xi} \mathfrak{g}^{*} \to \mathbf{R}\)は、以下のようにして、\(\mathfrak{g}\)の元と同一視できる; \[\left. \langle d_{\xi}f , v \rangle = \dfrac{d}{dt}f(\xi + t v) \right|_{t=0} \space , \forall v \in \mathfrak{g}^{*}\]

すると、\(f,g \in C^{\infty}(\mathfrak{g}^{*})\)に対して、Poisson括弧\(\{f,g\} \in C^{\infty}(\mathfrak{g}^{*})\)を \[\{f,g\}(\xi) = \langle [d_{\xi} f , d_{\xi}g]_{\mathfrak{g}} , \xi \rangle\] で定義できる。これが、Poisson括弧の定義を満たすことの証明は省略する

2つの定義が一致することを確認する。\(x \in \mathfrak{g}\)を、明示的に\(C^{\infty}(\mathfrak{g}^{*})\)の元とみたものを\(F(x)\)で書くことにする。つまり \[F(x)(\xi) = \langle x , \xi \rangle\] とする。\(x,y \in \mathfrak{g}\)に対して、一致を確認すれば十分。代数的な定義では \[\{F(x),F(y)\}(\xi) = F([x,y])(\xi) = \langle [x,y] , \xi \rangle\] となる。幾何学的な定義では \[\{F(x),F(y)\}(\xi) = \langle [d_{\xi}F(x) , d_{\xi}F(y)] ,\xi \rangle\] であるが \[\langle d_{\xi} F(x) , v \rangle = \left. \dfrac{d}{dt} F(x)(\xi+tv) \right|_{t=0} = \left. \dfrac{d}{dt} \langle x , \xi+tv \rangle \right|_{t=0} = \langle x ,v \rangle\] となることから、 \[\langle [d_{\xi}F(x) , d_{\xi}F(y)] , v \rangle = \langle [x,y] , v \rangle\] でなければらない。従って、 \[\langle [d_{\xi}F(x) , d_{\xi}F(y)] , \xi \rangle = \langle [x,y] , \xi \rangle\]

[Note]歴史的には、\(\mathfrak{g}^{*}\)にPoisson構造が入るのは、Lie自身が発見したことらしい(MarsdenとWeinsteinは、これをLie-Poisson bracket/structureと命名した模様)。この構造は、その後、忘れ去られていたのを、BerezinやKirillov,Kostant,Souriauらが1960年代に再発見したらしい。今日、余随伴軌道のcanonicalなsymplectic形式(Lie-Poisson構造の制限によって自然に誘導される)は、Kirillov-Kostant形式などと呼ばれている

classical r-matrix

classical r-matrixを扱う時、\(r \in \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}\)を考える場合と、\(R \in End(\mathfrak{g})\)を考える場合とがある。

\(\mathfrak{g}\)上に、不変非退化対称双線形形式が存在する場合、自然に\(\mathfrak{g}\)と\(\mathfrak{g}^{*}\)を同一視できるので、原理的には両者の扱いは等価となる。実際扱われるケースは、この場合が殆どである

\(R \in End(\mathfrak{g})\)から始めるのが分かりやすい。\(R\)に対して \[[X,Y]_{R} = [R(X),Y] + [X,R(Y)]\] を定義して、これが\(\mathfrak{g}\)上のLie括弧となる時、\(R\)はclassical r-matrixであると言う(このための条件が、有名なclassical Yang-Baxter方程式であるけど、至る所で説明されているので省略する)。すると、標準的なLie-Poisson構造と同様に、\([-,-]_{R}\)からも\(C^{\infty}(\mathfrak{g}^{*})\)上に、Poisson括弧を定義できる。これを\(\{-,-\}_{R}\)と書くことにする

可積分系業界では、classical r-matrixに付随するPoisson括弧をtensor formで書くということが、時々行われる。以下、これについて。
\(\mathfrak{g}^{*}\)上のPoisson構造で\(\mathfrak{g}\)のLie括弧から得られるものは、線形写像\(Hom(\mathfrak{g}^{*} , \mathbf{R}) \otimes Hom(\mathfrak{g}^{*} , \mathbf{R}) \to Hom(\mathfrak{g}^{*} , \mathbf{R})\)を定める。これは任意の有限次元ベクトル空間\(V,W\)に対して、\(Hom(\mathfrak{g}^{*} , V) \otimes Hom(\mathfrak{g}^{*},W) \to Hom(\mathfrak{g}^{*} , V \otimes W)\)という線形写像に拡張できる。これを、\(A \in Hom(\mathfrak{g}^{*} , V)\)と\(B \in Hom(\mathfrak{g}^{*},W)\)に対して、\(\{A \overset{\otimes}{\text{,}} B \}\)のように書いたりする。恒等写像\(I \in Hom(\mathfrak{g}^{*} , \mathfrak{g}^{*})\)に対して、\(\{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \} \in Hom(\mathfrak{g}^{*} , \mathfrak{g}^{*} \otimes \mathfrak{g}^{*})\)が定まる

classical r-matrix \(R \in End(\mathfrak{g})\)に対しても\(\mathfrak{g}^{*}\)上のPoisson括弧が定まったので、これから、\(\{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \}_{R}\)を作ることができる。\(L \mapsto \{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \}_{R}(L)\)は、\(Hom(\mathfrak{g}^{*} , \mathfrak{g}^{*} \otimes \mathfrak{g}^{*})\)の元であるが、\(\mathfrak{g}\)上に、不変非退化対称双線形形式が存在する時、\(Hom(\mathfrak{g} , \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g})\)の元と同一視できる。

\(\mathfrak{g}\)上に、不変非退化対称双線形形式が存在する時、これを\((- \text{,} -)\)と書いて、\(\mathfrak{g}\)と\(\mathfrak{g}^{*}\)を同一視する。この内積に関する\(\mathfrak{g}\)の正規直交基底\(e_{\alpha}(\alpha=1 , \cdots , \mathrm{dim} \mathfrak{g})\)を取る; \[(e_{\alpha} , e_{\beta}) = \delta_{\alpha \beta}\] この時、Rを成分で書いて \[R(e_{\beta}) = \sum_{\alpha} r_{\alpha \beta} e_{\beta}\] とする。この時 \[r = \displaystyle \sum_{\alpha,\beta} r_{\alpha \beta} e_{\alpha} \otimes e_{\beta} \in \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}\] も、classical r-matrixと呼ぶ(こっちが本来のclassial r-matrix)

\(\delta \in Hom(\mathfrak{g} , \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g})\)を \[\delta(L) = [r , L \otimes I] - [r^{*} , I \otimes L]\] とする。但し、\(r^{*} = \sum_{\alpha,\beta} r_{\beta \alpha} (e_{\alpha} \otimes e_{\beta})\)

この\(\delta\)と上で作った\(L \mapsto \{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \}_{R}(L)\)は、(\(\mathfrak{g}\)と\(\mathfrak{g}^{*}\)の同一視の元で)一致する。証明は、内積の随伴作用での不変性\(([X,Y],Z) + (X,[Y,Z]) = 0\)に注意して、普通に計算していけばいい。

わかりやすさのために、\(\mathfrak{g}\)と\(\mathfrak{g}^{*}\)を同一視した時、\(e_{\alpha}\)に対応する\(\mathfrak{g}^{*}\)の基底を\(e_{\alpha}'\)で書くことにする。\(I = e_{\alpha} \otimes e_{\alpha}' \in End(\mathfrak{g}^{*}) \simeq \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}^{*}\)として \[\{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \}_{R} = \sum_{\alpha,\beta} [e_{\alpha} , e_{\beta}]_{R} \otimes e_{\alpha}' \otimes e_{\beta}'\] となる。\(Hom(\mathfrak{g}^{*} , \mathfrak{g}^{*} \otimes \mathfrak{g}^{*})\)を\(\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}^{*} \otimes \mathfrak{g}^{*}\)と同一視している。\(L \in \mathfrak{g}\)に対して、 \[\{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \}_{R}(L) = \sum_{\alpha,\beta} (L , [e_{\alpha} , e_{\beta}]_{R}) \otimes e_{\alpha}' \otimes e_{\beta}'\] である。更に\(R\)の定義を展開すると \[\{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \}_{R}(L) = \sum_{\alpha,\beta} (L , [e_{\alpha} , e_{\beta}]_{R}) \otimes e_{\alpha}' \otimes e_{\beta}' = \sum_{\alpha,\beta}\Bigl( (L,[R(e_{\alpha}),e_{\beta}]) + (L,[e_{\alpha},R(e_{\beta})]) \Bigr) e_{\alpha}' \otimes e_{\beta}'\] を得る。内積の随伴不変性を使って変形すると \[\{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \}_{R}(L) = \sum_{\alpha,\beta} \Bigl( ([R(e_{\alpha}),L] , e_{\beta}) + ([L,R(e_{\beta})] , e_{\alpha}) \Bigr) e_{\alpha}' \otimes e_{\beta}'\] を得る。\(e_{\alpha}\)たちは、正規直交基底であるから、\(\sum_{\beta} ([R(x),L] , e_{\beta}) e_{\beta} = [R(x),L]\)に注意すると \[\sum_{\alpha,\beta} \Bigl( ([R(e_{\alpha}),L] , e_{\beta}) + ([L,R(e_{\beta})] , e_{\alpha}) \Bigr) e_{\alpha} \otimes e_{\beta} = \sum_{\alpha} e_{\alpha} \otimes [R(e_\alpha),L] + \sum_{\beta} [L,R(e_{\beta})] \otimes e_{\beta}\] となる。あとは、\(\delta\)の定義に含まれる\(r\)を展開して比較すればいい

[補足] \(r^{*}=-r\)という条件を課す場合がかなりある(ユニタリ条件と呼ばれる)。その場合は \[\delta(L) = [r , L \otimes I + I \otimes L]\] となる。このような\(\delta\)は、Lie cobracketと呼ばれて、半単純Lie環のLie cobracketは、この形で得られ、Lie bialgebraといわれる

[補足]ここで定義されたPoisson括弧は、linear Poisson bracketと呼ばれるが、classical r-matrixから定義されるPoisson括弧には、quadratic Poisson bracketというのもある。\(r\)を使って、quadratic Poisson bracketのtensor formは \[[r , L \otimes L]\] と書ける。

Lax方程式

\(I(\mathfrak{g})\)を\(S(\mathfrak{g})\)の(Lie-Poisson構造に対する)Poisson centerとする。\(f \in C^{\infty}(\mathfrak{g}^{*})\)と\(H \in I(\mathfrak{g})\)に対して \[\{f, H\}_{R}(\xi) = \langle [d_{\xi}f , d_{\xi} H]_{R} , \xi \rangle = \langle [d_{\xi}f , R(d_{\xi}H)]_{\mathfrak{g}}, \xi \rangle =\langle d_{\xi}f ,ad^{*}_{R(d_{\xi}H)} \xi\rangle\] なので、\(H \in I(\mathfrak{g})\)をHamiltonianとするHamilton力学系は、\(L \in \mathfrak{g}^{*}\)に対して \[\dfrac{dL}{dt} = ad^{*}_M L, \space M=R(d_{L} H)\] と書ける。\(\mathfrak{g}\)上に、非退化な不変内積が存在すれば、これは、Lax方程式 \[\dfrac{dL}{dt} = [M,L]\] を与える

明らかに\(H_1,H_2 \in I(\mathfrak{g})\)は\(\{-,-\}_{R}\)について包合的; \[\{H_1,H_2\}_{R}=0\] なので、\(H \in I(\mathfrak{g})\)をHamiltonianとする力学系は、自動的に、\(I(\mathfrak{g})\)の独立な生成元の個数だけの第一積分を持つ。

[補足]quadractic Poisson bracketからもLax方程式が作れて、\(I(\mathfrak{g})\)は包合的になるらしいけど、一般論を見たことがない