classical r-matrixとLax方程式

Lie-Poisson構造

有限次元Lie環g\mathfrak{g}に対して、対称代数S(g)S(\mathfrak{g})には、 {x,y}S(g)=[x,y]g (x,y∈g) \{x, y\}_{S(\mathfrak{g})} = [x,y]_{\mathfrak{g}} \space (x,y \in \mathfrak{g}) によって、Poisson代数の構造が入る(以下、係数体は、実数体を仮定するが、複素数体でも同様)。S(g)S(\mathfrak{g})は、g∗\mathfrak{g}^{*}上の多項式関数環と同一視できるので、g∗\mathfrak{g}^{*}には自然にPoisson多様体の構造が入る。これはLie-Poisson構造と呼ばれるもので、代数的には単純な代物である。

Lie-Poisson構造は、幾何学的に構成することもできる。代数的な構成のみでも議論できるけど、文献ではよく見るので、書いておく。
f∈C∞(g∗)f \in C^{\infty}(\mathfrak{g}^{*})とξ∈g∗\xi \in \mathfrak{g}^{*}に対して、dξf:Tξg∗→Rd_{\xi}f : T_{\xi} \mathfrak{g}^{*} \to \mathbf{R}は、以下のようにして、g\mathfrak{g}の元と同一視できる; ⟨dξf,v⟩=ddtf(ξ+tv)∣t=0 ,∀v∈g∗\left. \langle d_{\xi}f , v \rangle = \dfrac{d}{dt}f(\xi + t v) \right|_{t=0} \space , \forall v \in \mathfrak{g}^{*}

すると、f,g∈C∞(g∗)f,g \in C^{\infty}(\mathfrak{g}^{*})に対して、Poisson括弧{f,g}∈C∞(g∗)\{f,g\} \in C^{\infty}(\mathfrak{g}^{*})を {f,g}(ξ)=⟨[dξf,dξg]g,ξ⟩\{f,g\}(\xi) = \langle [d_{\xi} f , d_{\xi}g]_{\mathfrak{g}} , \xi \rangle で定義できる。これが、Poisson括弧の定義を満たすことの証明は省略する

2つの定義が一致することを確認する。x∈gx \in \mathfrak{g}を、明示的にC∞(g∗)C^{\infty}(\mathfrak{g}^{*})の元とみたものをF(x)F(x)で書くことにする。つまり F(x)(ξ)=⟨x,ξ⟩F(x)(\xi) = \langle x , \xi \rangle とする。x,y∈gx,y \in \mathfrak{g}に対して、一致を確認すれば十分。代数的な定義では {F(x),F(y)}(ξ)=F([x,y])(ξ)=⟨[x,y],ξ⟩\{F(x),F(y)\}(\xi) = F([x,y])(\xi) = \langle [x,y] , \xi \rangle となる。幾何学的な定義では {F(x),F(y)}(ξ)=⟨[dξF(x),dξF(y)],ξ⟩\{F(x),F(y)\}(\xi) = \langle [d_{\xi}F(x) , d_{\xi}F(y)] ,\xi \rangle であるが ⟨dξF(x),v⟩=ddtF(x)(ξ+tv)∣t=0=ddt⟨x,ξ+tv⟩∣t=0=⟨x,v⟩\langle d_{\xi} F(x) , v \rangle = \left. \dfrac{d}{dt} F(x)(\xi+tv) \right|_{t=0} = \left. \dfrac{d}{dt} \langle x , \xi+tv \rangle \right|_{t=0} = \langle x ,v \rangle となることから、 ⟨[dξF(x),dξF(y)],v⟩=⟨[x,y],v⟩\langle [d_{\xi}F(x) , d_{\xi}F(y)] , v \rangle = \langle [x,y] , v \rangle でなければらない。従って、 ⟨[dξF(x),dξF(y)],ξ⟩=⟨[x,y],ξ⟩\langle [d_{\xi}F(x) , d_{\xi}F(y)] , \xi \rangle = \langle [x,y] , \xi \rangle

[Note]歴史的には、g∗\mathfrak{g}^{*}にPoisson構造が入るのは、Lie自身が発見したことらしい(MarsdenとWeinsteinは、これをLie-Poisson bracket/structureと命名した模様)。この構造は、その後、忘れ去られていたのを、BerezinやKirillov,Kostant,Souriauらが1960年代に再発見したらしい。今日、余随伴軌道のcanonicalなsymplectic形式(Lie-Poisson構造の制限によって自然に誘導される)は、Kirillov-Kostant形式などと呼ばれている

classical r-matrix

classical r-matrixを扱う時、r∈g⊗gr \in \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}を考える場合と、R∈End(g)R \in End(\mathfrak{g})を考える場合とがある。

g\mathfrak{g}上に、不変非退化対称双線形形式が存在する場合、自然にg\mathfrak{g}とg∗\mathfrak{g}^{*}を同一視できるので、原理的には両者の扱いは等価となる。実際扱われるケースは、この場合が殆どである

R∈End(g)R \in End(\mathfrak{g})から始めるのが分かりやすい。RRに対して [X,Y]R=[R(X),Y]+[X,R(Y)][X,Y]_{R} = [R(X),Y] + [X,R(Y)] を定義して、これがg\mathfrak{g}上のLie括弧となる時、RRはclassical r-matrixであると言う(このための条件が、有名なclassical Yang-Baxter方程式であるけど、至る所で説明されているので省略する)。すると、標準的なLie-Poisson構造と同様に、[−,−]R[-,-]_{R}からもC∞(g∗)C^{\infty}(\mathfrak{g}^{*})上に、Poisson括弧を定義できる。これを{−,−}R\{-,-\}_{R}と書くことにする

可積分系業界では、classical r-matrixに付随するPoisson括弧をtensor formで書くということが、時々行われる。以下、これについて。
g∗\mathfrak{g}^{*}上のPoisson構造でg\mathfrak{g}のLie括弧から得られるものは、線形写像Hom(g∗,R)⊗Hom(g∗,R)→Hom(g∗,R)Hom(\mathfrak{g}^{*} , \mathbf{R}) \otimes Hom(\mathfrak{g}^{*} , \mathbf{R}) \to Hom(\mathfrak{g}^{*} , \mathbf{R})を定める。これは任意の有限次元ベクトル空間V,WV,Wに対して、Hom(g∗,V)⊗Hom(g∗,W)→Hom(g∗,V⊗W)Hom(\mathfrak{g}^{*} , V) \otimes Hom(\mathfrak{g}^{*},W) \to Hom(\mathfrak{g}^{*} , V \otimes W)という線形写像に拡張できる。これを、A∈Hom(g∗,V)A \in Hom(\mathfrak{g}^{*} , V)とB∈Hom(g∗,W)B \in Hom(\mathfrak{g}^{*},W)に対して、{A,⊗B}\{A \overset{\otimes}{\text{,}} B \}のように書いたりする。恒等写像I∈Hom(g∗,g∗)I \in Hom(\mathfrak{g}^{*} , \mathfrak{g}^{*})に対して、{I,⊗I}∈Hom(g∗,g∗⊗g∗)\{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \} \in Hom(\mathfrak{g}^{*} , \mathfrak{g}^{*} \otimes \mathfrak{g}^{*})が定まる

classical r-matrix R∈End(g)R \in End(\mathfrak{g})に対してもg∗\mathfrak{g}^{*}上のPoisson括弧が定まったので、これから、{I,⊗I}R\{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \}_{R}を作ることができる。L↦{I,⊗I}R(L)L \mapsto \{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \}_{R}(L)は、Hom(g∗,g∗⊗g∗)Hom(\mathfrak{g}^{*} , \mathfrak{g}^{*} \otimes \mathfrak{g}^{*})の元であるが、g\mathfrak{g}上に、不変非退化対称双線形形式が存在する時、Hom(g,g⊗g)Hom(\mathfrak{g} , \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g})の元と同一視できる。

g\mathfrak{g}上に、不変非退化対称双線形形式が存在する時、これを(−,−)(- \text{,} -)と書いて、g\mathfrak{g}とg∗\mathfrak{g}^{*}を同一視する。この内積に関するg\mathfrak{g}の正規直交基底eα(α=1,⋯,dimg)e_{\alpha}(\alpha=1 , \cdots , \mathrm{dim} \mathfrak{g})を取る; (eα,eβ)=δαβ(e_{\alpha} , e_{\beta}) = \delta_{\alpha \beta} この時、Rを成分で書いて R(eβ)=∑αrαβeβR(e_{\beta}) = \sum_{\alpha} r_{\alpha \beta} e_{\beta} とする。この時 r=∑α,βrαβeα⊗eβ∈g⊗gr = \displaystyle \sum_{\alpha,\beta} r_{\alpha \beta} e_{\alpha} \otimes e_{\beta} \in \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} も、classical r-matrixと呼ぶ(こっちが本来のclassial r-matrix)

δ∈Hom(g,g⊗g)\delta \in Hom(\mathfrak{g} , \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g})を δ(L)=[r,L⊗I]−[r∗,I⊗L]\delta(L) = [r , L \otimes I] - [r^{*} , I \otimes L] とする。但し、r∗=∑α,βrβα(eα⊗eβ)r^{*} = \sum_{\alpha,\beta} r_{\beta \alpha} (e_{\alpha} \otimes e_{\beta})

このδ\deltaと上で作ったL↦{I,⊗I}R(L)L \mapsto \{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \}_{R}(L)は、(g\mathfrak{g}とg∗\mathfrak{g}^{*}の同一視の元で)一致する。証明は、内積の随伴作用での不変性([X,Y],Z)+(X,[Y,Z])=0([X,Y],Z) + (X,[Y,Z]) = 0に注意して、普通に計算していけばいい。

わかりやすさのために、g\mathfrak{g}とg∗\mathfrak{g}^{*}を同一視した時、eαe_{\alpha}に対応するg∗\mathfrak{g}^{*}の基底をeα′e_{\alpha}'で書くことにする。I=eα⊗eα′∈End(g∗)≃g⊗g∗I = e_{\alpha} \otimes e_{\alpha}' \in End(\mathfrak{g}^{*}) \simeq \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}^{*}として {I,⊗I}R=∑α,β[eα,eβ]R⊗eα′⊗eβ′\{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \}_{R} = \sum_{\alpha,\beta} [e_{\alpha} , e_{\beta}]_{R} \otimes e_{\alpha}' \otimes e_{\beta}' となる。Hom(g∗,g∗⊗g∗)Hom(\mathfrak{g}^{*} , \mathfrak{g}^{*} \otimes \mathfrak{g}^{*})をg⊗g∗⊗g∗\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}^{*} \otimes \mathfrak{g}^{*}と同一視している。L∈gL \in \mathfrak{g}に対して、 {I,⊗I}R(L)=∑α,β(L,[eα,eβ]R)⊗eα′⊗eβ′\{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \}_{R}(L) = \sum_{\alpha,\beta} (L , [e_{\alpha} , e_{\beta}]_{R}) \otimes e_{\alpha}' \otimes e_{\beta}' である。更にRRの定義を展開すると {I,⊗I}R(L)=∑α,β(L,[eα,eβ]R)⊗eα′⊗eβ′=∑α,β((L,[R(eα),eβ])+(L,[eα,R(eβ)]))eα′⊗eβ′\{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \}_{R}(L) = \sum_{\alpha,\beta} (L , [e_{\alpha} , e_{\beta}]_{R}) \otimes e_{\alpha}' \otimes e_{\beta}' = \sum_{\alpha,\beta}\Bigl( (L,[R(e_{\alpha}),e_{\beta}]) + (L,[e_{\alpha},R(e_{\beta})]) \Bigr) e_{\alpha}' \otimes e_{\beta}' を得る。内積の随伴不変性を使って変形すると {I,⊗I}R(L)=∑α,β(([R(eα),L],eβ)+([L,R(eβ)],eα))eα′⊗eβ′\{I \overset{\otimes}{\text{,}} I \}_{R}(L) = \sum_{\alpha,\beta} \Bigl( ([R(e_{\alpha}),L] , e_{\beta}) + ([L,R(e_{\beta})] , e_{\alpha}) \Bigr) e_{\alpha}' \otimes e_{\beta}' を得る。eαe_{\alpha}たちは、正規直交基底であるから、∑β([R(x),L],eβ)eβ=[R(x),L]\sum_{\beta} ([R(x),L] , e_{\beta}) e_{\beta} = [R(x),L]に注意すると ∑α,β(([R(eα),L],eβ)+([L,R(eβ)],eα))eα⊗eβ=∑αeα⊗[R(eα),L]+∑β[L,R(eβ)]⊗eβ\sum_{\alpha,\beta} \Bigl( ([R(e_{\alpha}),L] , e_{\beta}) + ([L,R(e_{\beta})] , e_{\alpha}) \Bigr) e_{\alpha} \otimes e_{\beta} = \sum_{\alpha} e_{\alpha} \otimes [R(e_\alpha),L] + \sum_{\beta} [L,R(e_{\beta})] \otimes e_{\beta} となる。あとは、δ\deltaの定義に含まれるrrを展開して比較すればいい

[補足] r∗=−rr^{*}=-rという条件を課す場合がかなりある(ユニタリ条件と呼ばれる)。その場合は δ(L)=[r,L⊗I+I⊗L]\delta(L) = [r , L \otimes I + I \otimes L] となる。このようなδ\deltaは、Lie cobracketと呼ばれて、半単純Lie環のLie cobracketは、この形で得られ、Lie bialgebraといわれる

[補足]ここで定義されたPoisson括弧は、linear Poisson bracketと呼ばれるが、classical r-matrixから定義されるPoisson括弧には、quadratic Poisson bracketというのもある。rrを使って、quadratic Poisson bracketのtensor formは [r,L⊗L][r , L \otimes L] と書ける。

Lax方程式

I(g)I(\mathfrak{g})をS(g)S(\mathfrak{g})の(Lie-Poisson構造に対する)Poisson centerとする。f∈C∞(g∗)f \in C^{\infty}(\mathfrak{g}^{*})とH∈I(g)H \in I(\mathfrak{g})に対して {f,H}R(ξ)=⟨[dξf,dξH]R,ξ⟩=⟨[dξf,R(dξH)]g,ξ⟩=⟨dξf,adR(dξH)∗ξ⟩\{f, H\}_{R}(\xi) = \langle [d_{\xi}f , d_{\xi} H]_{R} , \xi \rangle = \langle [d_{\xi}f , R(d_{\xi}H)]_{\mathfrak{g}}, \xi \rangle =\langle d_{\xi}f ,ad^{*}_{R(d_{\xi}H)} \xi\rangle なので、H∈I(g)H \in I(\mathfrak{g})をHamiltonianとするHamilton力学系は、L∈g∗L \in \mathfrak{g}^{*}に対して dLdt=adM∗L, M=R(dLH)\dfrac{dL}{dt} = ad^{*}_M L, \space M=R(d_{L} H) と書ける。g\mathfrak{g}上に、非退化な不変内積が存在すれば、これは、Lax方程式 dLdt=[M,L]\dfrac{dL}{dt} = [M,L] を与える

明らかにH1,H2∈I(g)H_1,H_2 \in I(\mathfrak{g})は{−,−}R\{-,-\}_{R}について包合的; {H1,H2}R=0\{H_1,H_2\}_{R}=0 なので、H∈I(g)H \in I(\mathfrak{g})をHamiltonianとする力学系は、自動的に、I(g)I(\mathfrak{g})の独立な生成元の個数だけの第一積分を持つ。

[補足]quadractic Poisson bracketからもLax方程式が作れて、I(g)I(\mathfrak{g})は包合的になるらしいけど、一般論を見たことがない