su(1,1)のlimit of discrete series
limit of discrete series
\(V=\mathbb{C}[z,z^{-1}]\) に対して、\(V\)上の表現 \(\rho : \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \to End(V)\) を、以下で定義する。
\(\rho(e) = z^2 \dfrac{d}{dz} + z\)
\(\rho(f) = -\dfrac{d}{dz}\)
\(\rho(h) = 2 z \dfrac{d}{dz} + 1\)
ここで、\(e,f,h\)は、以下の条件を満たすChevalley基底とする
\([h,e]=2e , [h,f]=-2 f , [e,f] = h\)
初等的な計算で、
\(\begin{cases} \rho(h)z^n = (2n+1)z^n \\ \rho(e) z^n = (n+1) z^{n+1} \\ \rho(f)z^n = -n z^{n-1} \end{cases}\)
が分かる。
\((\rho,V)\)が\(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\)の表現を定めることは容易にわかるが、既約ではなく、以下の2つの不変部分空間を持つ。
\(V_{+} = \mathbb{C}[z]\)
\(V_{-} = z^{-1}\mathbb{C}[z^{-1}]\)
\(V_{+}\),\(V_{-}\)それぞれへの\(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\)の表現は、limit of discrete seriesとして知られる表現になっている。
\((\rho,V)\)は、連続主系列表現の一つであり、連続主系列表現は、殆どの場合は、既約になるけど、これは、そうでない。
反線形写像\(\theta: \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \to \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\)を
\(\theta(e) = f , \theta(f) = e , \theta(h)=-h\)
で定めると、\(\theta\)の固定点は、実Lie環を定義する。このLie環は、\(\mathfrak{su}(1,1)\)
次に、\(V\)上の内積を
\((z^n,z^m) = \delta_{nm}\)
で定めると、\(v,w \in V\)と\(x \in \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\)に対して
\((\theta(x) v , w ) + (v , \theta(x)w) = 0\)
が成立する。
\(V\)自体は、この内積について完備ではないけれど、 \(z \mapsto e^{i \theta}\)によって、
\(\mathbb{C}[z,z^{-1}] \hookrightarrow L^2(S^1)\)
が定義できる。これは、単射であり、また、
\((f(z) , g(z)) = \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(e^{i\theta})\overline{g(e^{i \theta})} d\theta\)
で、内積を保つ。
Poisson積分
\(V=\mathbb{C}[z,z^{-1}]\)と、\(\mathbb{C}[w] \oplus \bar{w} \mathbb{C}[\bar{w}]\) の間には、自然な(ベクトル空間としての同型が存在する)。
更に、 \(\mathbb{C}[w] \oplus \bar{w} \mathbb{C}[\bar{w}]\) と、二変数調和多項式の全体 \(\mathcal{H} = \{f \in \mathbb{C}[x,y] | \Delta f = 0 \}\) には、 \((w,\bar{w}) \mapsto (x+iy , x- iy)\) によって、1:1対応が存在する。
\(V\)から、\(\mathcal{H}\)への写像は、解析的には、Poisson積分で与えることができる。解析的な文脈では、Poisson積分は、単位円板\(D= \{ z \in \mathbb{C} | |z| < 1 \}\)の境界\(\partial D \simeq S^1\)上の関数から、\(D\)上の調和関数への写像と見なされる
Poisson核を形式的に、
\(P(z,w) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} z^n \bar{w}^n + \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} z^{-n} w^n\)
とすれば
\(P(e^{i \theta} , w) = \dfrac{1}{1-e^{i\theta}\bar{w}} + \dfrac{e^{- i\theta}w}{1-e^{-i\theta}w} = \dfrac{1-|w|^2}{|1-e^{-i\theta}w|^2} = \dfrac{1-|w|^2}{|w-e^{i\theta}|^2}\)
となり、通常のPoisson核を得ることが出来る
Cayley変換
単位円板は、上半平面\(\mathbb{C}_{+} = \{ z \in \mathbb{C} | \mathrm{Im}(z) > 0\}\)からの等角全単射を持つ。\(\mathbb{C}_{+}\)の境界は、\(\mathbb{R}\)である。
上半平面から、単位円板への全射
\(z \mapsto \dfrac{z-i}{z+i}\)
は、Cayley変換として知られる。
\(n \in \mathbb{Z}\)に対して
\(z^n \mapsto v_{n}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \dfrac{1}{x+i}\left( \dfrac{x-i}{x+i}\right)^n\)
\(H' = -i(1+x^2)\dfrac{d}{dx}-ix\)
\(E' = \dfrac{1}{2i}(x-i)^2 \dfrac{d}{dx} + \dfrac{1}{2i}(x-i)\)
\(F' = \dfrac{i}{2} (x+i)^2 \dfrac{d}{dx} + \dfrac{i}{2}(x+i)\)
とすると
\(H' \cdot v_n = (2n+1) v_n\)
\(E' \cdot v_n = (n+1) v_{n+1}\)
\(F' \cdot v_n = -n v_{n-1}\)
こうして、再び、limit of discrete seriesの実現を得る。\(v_n(x)\)に、広く使われる名前は、付いていないようだけど、Wienerの有理関数と呼ばれていることがある
歪エルミート共役を取る操作\(\theta'\)は、以下で定まる
\(\theta'(H') = -H' , \theta'(E') = F' , \theta'(F') = E'\)
そして、\(\theta'\)の固定点は、以下の元の実係数の線型結合で与えられる
\(H = -(E'+F') = 2 \dfrac{d}{dx} + 1\)
\(E = \dfrac{1}{2}(iH' + iE' - iF') = x^2 \dfrac{d}{dx} + x\)
\(F = -\dfrac{1}{2}(iH' - i E' + iF') = -\dfrac{d}{dx}\)
\(g = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) \in SL(2,\mathbb{R})\)の\(L^2(\mathbb{R})\)への作用を
\(\rho(g)(f)(x) = \dfrac{1}{cx+d}f\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)\)
で定める時、無限小作用は、\(H,E,F\)の線形結合で与えられる
Laguerre関数
\(v_n(x)\)は、Fourier変換すると、スケーリングと定数倍を除いて、Laguerre関数に移る
\(n \geq 0\)の時
\(\dfrac{1}{2 \pi} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx} \dfrac{(x-i)^n}{(x+i)^{n+1}}dx = \begin{cases} \dfrac{1}{i}e^{-t}L_n(2t) & (t \geq 0) \\ 0 & (t <0) \end{cases}\)
\(L_n(t)\)は、Laguerre多項式で、
\(L_n(t) = \dfrac{e^t}{n!} \dfrac{d^n}{dt^n} (e^{-t} t^n)\)
によって定義される
Laguerre関数\(e^{-x/2}L_n(x)\)が、\(L^2(0,\infty)\)の直交基底をなすことは、よく知られている
\(V=\mathbb{C}[z,z^{-1}]\)を、\(V_{+}=\mathbb{C}[z]\)と\(V_{-} = z^{-1}\mathbb{C}[z^{-1}]\)という二つのlimit of discrete seriesの表現空間に分解したが、この分解は
\(L^2(\mathbb{R}) \simeq L^2(0,\infty) \oplus L^2(-\infty,0)\)
に対応している。
\(h_n(x) = \begin{cases} e^{-x/2}L_n(x)U(x) & (n \geq 0) \\ -e^{x/2}L_{-n-1}(-x)U(-x) & (n<0) \end{cases}\)
\(U(x) = \begin{cases} 1 & (x \geq 0) \\ 0 & (x<0) \end{cases}\)
とすれば、\(h_n(x)\)は、\(L^2(\mathbb{R})\)の正規直交基底になる。
Fourier変換しただけなので、\(h_n(x)\)を基底として、limit of discrete seriesを実現することもできる
Hilbert変換と解析信号
\(h_n(\omega)\)と\(v_n(t)\)は、互いにFourier変換の関係にある。
\(L^2(\mathbb{R})\)から\(L^2(\mathbb{R})\)へのHilbert変換は、
\(v_n(t) \mapsto -i v_n(t) (n \geq 0)\)
\(v_n(t) \mapsto i v_n(t) (n<0)\)
という変換として理解できる。\(\mathcal{H}\)をHilbert変換とすると
\(u \mapsto \dfrac{1}{2}(u + i \mathcal{H}(u))\)
は、\(n \geq 0\)に於いて、\(v_n\)を不変に保ち、\(n<0\)では、\(v_n\)を0に移すので、limit of (positive) discrete seriesへの射影となる
しばしば、実信号をFourier変換して、正周波数成分のみを逆Fourier変換で戻すことによって、解析信号を得るという操作が行われる(Hilbert変換を計算する方法としても使える)が、正周波数成分をFourier変換した空間の基底は、\(h_n(\omega)\) \((n \geq 0)\) で与えられるので、同様に、limit of discrete seriesの表現空間へ射影している操作になっている。