so(3,2)の極小表現と波動方程式

参考文献

物理的には、全く別の話題であるけども、振動子表現は、以下の問題でも出てくる。

massless Klein-Gordon方程式の正エネルギー解を運動量空間で書いたものと、二次元Kepler系の束縛状態の固有関数は、数学的には、非常に似た形で書ける。

Notations

\(\eta_{ab} = \mathrm{diag}(+1,+1,+1,-1,-1)\)

\(1 \leq a , b \leq 3\)と\(4, \leq A , B \leq 5\)に対して、5x5行列 \(\Gamma_{pq}\)を

\(\left(\Gamma_{ab}\right)_{ij} = \delta_{ai}\delta_{bj} - \delta_{aj}\delta_{bi} = -\left(\Gamma_{ba}\right)_{ij}\)

\(\left(\Gamma_{aB}\right)_{ij} = \delta_{ai}\delta_{Bj} + \delta_{aj}\delta_{Bi} = \left(\Gamma_{Ba}\right)_{ij}\)

\(\left(\Gamma_{AB}\right)_{ij} = -\delta_{Ai}\delta_{Bj} + \delta_{Aj}\delta_{Bi} = -\left(\Gamma_{AB}\right)_{ij}\)

で定義する。

この時、\(\Gamma_{pq}\)に対して、以下の関係式

\([\Gamma_{ab},\Gamma_{cd}] = \eta_{bc} \Gamma_{ad} + \eta_{ad} \Gamma_{bc} + \eta_{ca}\Gamma_{db} + \eta_{db}\Gamma_{ca}\)

が成り立つ。

複素化すると、\(so(5,\mathbb{C})\)で、\(E_1,E_2,E_3,E_4,F_1,F_2,F_3,F_4,H_1,H_2\)をChevalley基底とすると、

\(\Gamma_{12} = \dfrac{i}{2}H_1\)

\(\Gamma_{13} = \dfrac{i}{2}(E_1 + F_1)\)

\(\Gamma_{14} = \dfrac{-1}{2}(E_2+F_2+E_4+F_4)\)

\(\Gamma_{15}　= \dfrac{-i}{2}(E_2-F_2+E_4-F_4)\)

\(\Gamma_{23} = \dfrac{1}{2}(E_1 - F_1)\)

\(\Gamma_{24} = \dfrac{i}{2}(E_4-F_4-E_2+F_2)\)

\(\Gamma_{25} = \dfrac{1}{2}(E_2+F_2-E_4-F_4)\)

\(\Gamma_{34} = -\dfrac{1}{2}(E_3+F_3)\)

\(\Gamma_{35} = \dfrac{i}{2}(F_3-E_3)\)

\(\Gamma_{45} = \dfrac{i}{2}(H_1+H_2)\)

実型を定めるinvolution \(\theta\)は

\(\theta(E_1) = -F_1\)

\(\theta(F_1) = -E_1\)

\(\theta(H_k) = -H_k\)

\(\theta(E_k) = F_k\) \((k=2,3,4)\)

\(\theta(F_k) = E_k\) \((k=2,3,4)\)

で定義され、\(\Gamma_{pq}\)は\(\theta\)の作用で不変

振動子表現

\(so(3,2) \simeq sp(4,\mathbb{R})\)が知られており、従って、\(so(3,2)\)の\(\mathbb{C}[z_1,z_2]\)上への振動子表現を作ることが出来る。

よく知られている通り、この表現は、偶数次多項式からなる空間への表現と、奇数次多項式からなる空間への表現の直和に既約分解する

具体的な作用の形は、以下のRisa/Asirコードの通り

def assert(V){
   if(!V){error(V);}
   return 1;
}

/* definitions */
V=[z1,z2,d1,d2];

D1=dp_ptod(d1,V);
D2=dp_ptod(d2,V);
Z1=dp_ptod(z1,V);
Z2=dp_ptod(z2,V);

G12 = -@i*(dp_weyl_mul(Z1,D2)+dp_weyl_mul(Z2,D1))/2;
G13 = (dp_weyl_mul(Z1,D2)-dp_weyl_mul(Z2,D1))/2;
G14 = -@i*(dp_weyl_mul(D1,D2) + dp_weyl_mul(Z1,Z2))/2;
G15 = (dp_weyl_mul(Z1,Z2) - dp_weyl_mul(D1,D2))/2;

G23 = -@i*(dp_weyl_mul(Z1,D1)-dp_weyl_mul(Z2,D2))/2;
G24 = -(dp_weyl_mul(D1,D1)+dp_weyl_mul(D2,D2)-Z1*Z1-Z2*Z2)/4;
G25 = @i*(dp_weyl_mul(D1,D1)+dp_weyl_mul(D2,D2)+Z1*Z1+Z2*Z2)/4;

G34 = @i*(dp_weyl_mul(D1,D1)-dp_weyl_mul(D2,D2)+Z1*Z1-Z2*Z2)/4;
G35 = (dp_weyl_mul(D1,D1)-dp_weyl_mul(D2,D2)-Z1*Z1+Z2*Z2)/4;

G45 = @i*(dp_weyl_mul(Z1,D1) + dp_weyl_mul(Z2,D2) + 1)/2;

assert(dp_weyl_mul(G15,G45)-dp_weyl_mul(G45,G15)==G14);
assert(dp_weyl_mul(G14,G24)-dp_weyl_mul(G24,G14)==G12);
assert(dp_weyl_mul(G23,G24)-dp_weyl_mul(G24,G23)==-G34);
assert(dp_weyl_mul(G24,G45)-dp_weyl_mul(G45,G24)==-G25);
assert(dp_weyl_mul(G23,G25)-dp_weyl_mul(G25,G23)==-G35);
assert(dp_weyl_mul(G15,G35)-dp_weyl_mul(G35,G15)==G13);

Diags = [1,1,1,-1,-1];
GammaList = [[0,G12,G13,G14,G15],
             [-G12,0,G23,G24,G25],
             [-G13,-G23,0,G34,G35],
             [-G14,-G24,-G34,0,G45],
             [-G15,-G25,-G35,-G45,0]];

/* check identities */
for(I=0;I<5;I+=1){
  for(J=I+1;J<5;J+=1){
    GIJ = GammaList[I][J];
    for(K=0;K<5;K+=1){
      for(L=K+1;L<5;L+=1){
        GKL = GammaList[K][L];
        Res = 0;
        if(I==K)Res = Res + Diags[I]*GammaList[L][J];
        if(I==L)Res = Res + Diags[I]*GammaList[J][K];
        if(J==K)Res = Res + Diags[J]*GammaList[I][L];
        if(J==L)Res = Res + Diags[J]*GammaList[K][I];
        assert(dp_weyl_mul(GIJ,GKL)-dp_weyl_mul(GKL,GIJ)==Res);
      }
    }
  }
}

2D massless Klein-Gordon方程式の正エネルギー解

非負実数\(k\)に対して、運動量空間の座標を

\(\mathbf{k} = (k_0,k_1,k_2) = (k, k \cos \theta , k \sin \theta)\)

で定めると、以下の質量殻条件

\(k_0^2 = k_1^2 + k_2^2\)

を満たす。\(k_0>0\)なので、エネルギーは正である。

massless Klein-Gordon方程式は、共形対称性を持ち、二次元では、解空間に、Lie環\(so(3,2)\)の作用が定まる。

よく知られる通り、無限小並進\(P_0,P_1,P_2\)と無限小回転\(M_{12}\)、ローレンツブースト\(M_{01},M_{02}\)、無限小スケール変換\(D\),無限小特殊共形変換\(K_0,K_1,K_2\)は

\(P_0 = \Gamma_{14} + \Gamma_{45} , P_1 = \Gamma_{12} + \Gamma_{25} , P_2 = \Gamma_{13} + \Gamma_{35}\)

\(K_0 = \Gamma_{14} - \Gamma_{45} , K_1=\Gamma_{12} - \Gamma_{25} , K_2 = \Gamma_{13} - \Gamma_{35}\)

\(M_{12} = \Gamma_{23} , M_{01} = -\Gamma_{24} , M_{02} = -\Gamma_{34}\)

\(D = \Gamma_{15}\)

のように書かれる。

解を、運動量空間で考えていることに注意すれば、これらの無限小共形変換の具体的な形は、よく知られている

\(P_0 = i k_0 , P_1 = -i k_1 , P_2 = -i k_2\)

\(M_{12} = k_1 \partial_2 - k_2 \partial_1\)

\(M_{01} = k_0 \partial_1 , M_{02} = k_0 \partial_2\)

\(D = \dfrac{1}{2} + k_1 \partial_1 + k_2 \partial_2\)

\(K_0 = ik_0(\partial_1^2+\partial_2^2)\)

\(K_1 = i (k_1 \partial_1^2 - k_1 \partial_2^2 + 2k_2 \partial_1\partial_2+\partial_1)\)

\(K_2 = i(-k_2 \partial_1^2+k_2 \partial_2^2+2k_1\partial_1\partial_2+\partial_2)\)

正エネルギー解空間の基底

非負整数\(l\)と、整数\(m\)に対して、\(-l \leq m \leq l\)の時

\(f_{lm}(\mathbf{k}) = \sqrt{ \dfrac{(l-m)!}{\pi(l+m)!} } (2k)^m e^{-k} L_{l-m}^{(2m)}(2k) e^{im\theta}\)

を定義する。これは、二次元Kepler系の束縛状態の波動関数とよく似ている。

\(L_n^{(a)}\)は、一般化Laguerre多項式で、\(a > -1\)に対しては、以下の漸化式で定義される

\(L_0^{(a)}(x) = 1\)

\(L_1^{(a)}(x) = 1+a-x\)

\((k+1)L_{k+1}^{(a)}(x) = (2k+1+a-x)L_{k}^{(a)}(x) - (k+a)L_{k-1}^{(a)}(x)\)

\(0 \leq a \leq n\)で、\(a \in \mathbb{Z},n-a \in \mathbb{N}\)の時は、

\(L_n^{(-a)}(x) = \dfrac{\Gamma(n-a+1)}{\Gamma(n+1)} (-x)^a L_{n-a}^{(a)}(x)\)

で定義する。この定義によれば、\(m \leq 0\)の時は、

\((2k)^m L_{l-m}^{(2m)}(2k) = (2k)^{-|m|} L_{l+|m|}^{(-2|m|)}(2k) = \dfrac{\Gamma(l+|m|-2|m|+1)}{\Gamma(l+|m|+1)}(2k)^{-|m|}(-2k)^{2|m|}L_{l+|m|-2|m|}^{(2|m|)}(2k) = (2k)^{|m|} L_{l-|m|}^{(2|m|)}(2k)\)

が従う。



また、\(R_{lm}(k) = (2k)^m e^{-k} L_{l-m}^{(2m)}(2k)\)は、以下の微分方程式を満たす

\(\left( k \dfrac{\partial^2}{\partial k^2} + \dfrac{\partial}{\partial k} - \dfrac{m^2}{k} - k + 2 l + 1 \right)R =0\)



そして、振動子表現との同型は

\(f_{lm}(\mathbf{k}) \Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{1}{(l+m)!(l-m)!}}z_1^{l+m}z_2^{l-m}\)

で定まっている。

明らかに、\(\deg(z_1^{l+m}z_2^{l-m}) = 2l\)

最低ウェイト条件と特異ベクトル(FIXME)

振動子表現は、最低ウェイト表現なので、同じ最低ウェイト条件を満たすことを確認すればいい。また、特異ベクトルも計算しておく

内積の構造(FIXME)

表現が、ユニタリー表現であることを確かめる